MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnptop2 Structured version   Unicode version

Theorem cnptop2 19927
Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnptop2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )

Proof of Theorem cnptop2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2400 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscnp2 19923 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e. 
U. J )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
43simplbi 458 . 2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e. 
U. J ) )
54simp2d 1008 1  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752    C_ wss 3411   U.cuni 4188   "cima 4943   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Topctop 19576    CnP ccnp 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-map 7377  df-top 19581  df-topon 19584  df-cnp 19912
This theorem is referenced by:  cnpco  19951  cncnp2  19965  cnpresti  19972  cnprest  19973  lmcnp  19988  cnpflfi  20682  flfcnp  20687  flfcnp2  20690
  Copyright terms: Public domain W3C validator