MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnptop1 Structured version   Unicode version

Theorem cnptop1 18845
Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnptop1  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cnptop1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2442 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscnp2 18842 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e. 
U. J )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
43simplbi 460 . 2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e. 
U. J ) )
54simp1d 1000 1  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3327   U.cuni 4090   "cima 4842   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Topctop 18497    CnP ccnp 18828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7215  df-top 18502  df-topon 18505  df-cnp 18831
This theorem is referenced by:  cnpco  18870  cncnp2  18884  cnpresti  18891  cnprest2  18893  lmcnp  18907
  Copyright terms: Public domain W3C validator