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Theorem cnpresti 19655
Description: One direction of cnprest 19656 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cnpresti  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)

Proof of Theorem cnpresti
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 19614 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> U. K )
433ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X --> U. K
)
5 simp1 996 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  X )
64, 5fssresd 5758 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A ) : A --> U. K
)
7 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  P  e.  A )
8 fvres 5886 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
109eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
11 cnpimaex 19623 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
12113expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K )  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
13123ad2antl3 1160 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
14 idd 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  x ) )
15 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  A )
1614, 15jctird 544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A
) ) )
17 elin 3692 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
1816, 17syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
19 inss1 3723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
20 imass2 5378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x )
22 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " x )  C_  y )
2321, 22syl5ss 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
2518, 24anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
2625reximdv 2941 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
27 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2827inex1 4594 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
30 cnptop1 19609 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
31303ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  Top )
32 uniexg 6592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  U. J  e.  _V )
345, 1syl6sseq 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  U. J )
3533, 34ssexd 4600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  e.  _V )
36 elrest 14699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
3731, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
3938eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  A )
) )
4038imaeq2d 5343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
41 inss2 3724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
42 resima2 5313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
4440, 43syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
4544sseq1d 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
4639, 45anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
4729, 37, 46rexxfr2d 4670 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
4826, 47sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5013, 49syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5110, 50sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5251ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
531toptopon 19301 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5431, 53sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
55 resttopon 19528 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5654, 5, 55syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
57 cnptop2 19610 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
58573ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
592toptopon 19301 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
6058, 59sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
61 iscnp 19604 . . 3  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
6256, 60, 15, 61syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
636, 52, 62mpbir2and 920 1  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   U.cuni 4251    |` cres 5007   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾t crest 14692   Topctop 19261  TopOnctopon 19262    CnP ccnp 19592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cnp 19595
This theorem is referenced by:  efrlim  23163  cvmlift2lem11  28590
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