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Theorem cnpresti 18904
Description: One direction of cnprest 18905 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cnpresti  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)

Proof of Theorem cnpresti
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 18863 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> U. K )
433ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X --> U. K
)
5 simp1 988 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  X )
6 fssres 5590 . . 3  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  A  C_  X )  ->  ( F  |`  A ) : A --> U. K )
74, 5, 6syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A ) : A --> U. K
)
8 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  P  e.  A )
9 fvres 5716 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
1110eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
12 cnpimaex 18872 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
13123expia 1189 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K )  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
14133ad2antl3 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
15 idd 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  x ) )
16 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  A )
1715, 16jctird 544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A
) ) )
18 elin 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
1917, 18syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
20 inss1 3582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
21 imass2 5216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x )
23 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " x )  C_  y )
2422, 23syl5ss 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
2619, 25anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
2726reximdv 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
28 vex 2987 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2928inex1 4445 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
31 cnptop1 18858 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
32313ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  Top )
33 uniexg 6389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  U. J  e.  _V )
355, 1syl6sseq 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  U. J )
3634, 35ssexd 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  e.  _V )
37 elrest 14378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
3832, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
4039eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  A )
) )
4139imaeq2d 5181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
42 inss2 3583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
43 resima2 5155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
4541, 44syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
4645sseq1d 3395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
4740, 46anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
4830, 38, 47rexxfr2d 4521 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
4927, 48sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5049adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5114, 50syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5211, 51sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5352ralrimiva 2811 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
541toptopon 18550 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5532, 54sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
56 resttopon 18777 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5755, 5, 56syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
58 cnptop2 18859 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
59583ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
602toptopon 18550 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
6159, 60sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
62 iscnp 18853 . . 3  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
6357, 61, 16, 62syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
647, 53, 63mpbir2and 913 1  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    i^i cin 3339    C_ wss 3340   U.cuni 4103    |` cres 4854   "cima 4855   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   ↾t crest 14371   Topctop 18510  TopOnctopon 18511    CnP ccnp 18841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-fin 7326  df-fi 7673  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cnp 18844
This theorem is referenced by:  efrlim  22375  cvmlift2lem11  27214
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