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Theorem cnprest 19663
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )

Proof of Theorem cnprest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 19617 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top ) )
3 cnptop2 19617 . . 3  |-  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
)
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
65ntrss2 19431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  C_  A )
763ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  C_  A )
8 simp2l 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
97, 8sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  A
)
10 fvres 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  =  ( F `
 P ) )
1211eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F `  P )  =  ( ( F  |`  A ) `
 P ) )
1312eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F `
 P )  e.  y  <->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y ) )
14 inss1 3703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
15 imass2 5362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
16 sstr2 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
1817anim2i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
1918reximi 2911 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
20 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
215ntropn 19423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  e.  J )
22213ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  e.  J )
23 inopn 19281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
24233com23 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
25243expia 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
2620, 22, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
27 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
) )
2827simplbi2com 627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  A
)  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
298, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
30 sslin 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( int `  J
) `  A )  C_  A  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
317, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
32 imass2 5362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) ) 
C_  ( x  i^i 
A )  ->  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
34 sstr2 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  ( F " ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3629, 35anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3726, 36anim12d 563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) )  e.  J  /\  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) )  /\  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) ) )
38 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) )
39 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) ) )
4039sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) 
C_  y ) )
4138, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
4241rspcev 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J  /\  ( P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  /\  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
4337, 42syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4443expdimp 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4544rexlimdva 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
46 eleq2 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
47 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( F " z )  =  ( F " x
) )
4847sseq1d 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( F " z
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( P  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  y
)  <->  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y ) ) )
5049cbvrexv 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
5145, 50syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )
5219, 51impbid2 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
53 vex 3098 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
5453inex1 4578 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  A )  e.  _V )
56 uniexg 6582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  U. J  e.  _V )
58 simp1r 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  X
)
5958, 5syl6sseq 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  U. J
)
6057, 59ssexd 4584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  e.  _V )
61 elrest 14702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
6220, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
63 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
64 elin 3672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
6564rbaib 906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  <->  P  e.  x ) )
669, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  <->  P  e.  x
) )
6763, 66sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x
) )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
6968imaeq2d 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
70 inss2 3704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
71 resima2 5297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
7369, 72syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
7473sseq1d 3516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
7567, 74anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
7655, 62, 75rexxfr2d 4654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
7752, 76bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
7813, 77imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
7978ralbidv 2882 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
80 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
8158, 9sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  X
)
82 cnprest.2 . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. K
835, 82iscnp2 19613 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8483baib 903 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8520, 80, 81, 84syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
86 simp2r 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  F : X --> Y )
8786biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8885, 87bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
895toptopon 19307 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9020, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
91 resttopon 19535 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
9290, 58, 91syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A
) )
9382toptopon 19307 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
9480, 93sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
95 iscnp 19611 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9692, 94, 9, 95syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9786, 58fssresd 5742 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Y )
9897biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9996, 98bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
10079, 88, 993bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
1011003expia 1199 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( K  e.  Top  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) ) )
1022, 4, 101pm5.21ndd 354 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4234    |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾t crest 14695   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   intcnt 19391    CnP ccnp 19599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-ntr 19394  df-cnp 19602
This theorem is referenced by:  limcres  22163  dvcnvrelem2  22292  psercn  22693  abelth  22708  cxpcn3  22994  efrlim  23171  cvmlift2lem11  28631  cvmlift2lem12  28632  cvmlift3lem7  28643  cncfuni  31596  cncfiooicclem1  31603  dirkercncflem4  31777  fourierdlem62  31840
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