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Theorem cnprest 19549
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )

Proof of Theorem cnprest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 19503 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top ) )
3 cnptop2 19503 . . 3  |-  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
)
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
65ntrss2 19317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  C_  A )
763ad2ant1 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  C_  A )
8 simp2l 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
97, 8sseldd 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  A
)
10 fvres 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  =  ( F `
 P ) )
1211eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F `  P )  =  ( ( F  |`  A ) `
 P ) )
1312eleq1d 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F `
 P )  e.  y  <->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y ) )
14 inss1 3711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
15 imass2 5363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
16 sstr2 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
1817anim2i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
1918reximi 2925 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
20 simp1l 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
215ntropn 19309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  e.  J )
22213ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  e.  J )
23 inopn 19168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
24233com23 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
25243expia 1193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
2620, 22, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
27 elin 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
) )
2827simplbi2com 627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  A
)  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
298, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
30 sslin 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( int `  J
) `  A )  C_  A  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
317, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
32 imass2 5363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) ) 
C_  ( x  i^i 
A )  ->  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
34 sstr2 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  ( F " ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3629, 35anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3726, 36anim12d 563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) )  e.  J  /\  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) )  /\  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) ) )
38 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) )
39 imaeq2 5324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) ) )
4039sseq1d 3524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) 
C_  y ) )
4138, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
4241rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J  /\  ( P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  /\  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
4337, 42syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4443expdimp 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4544rexlimdva 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
46 eleq2 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
47 imaeq2 5324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( F " z )  =  ( F " x
) )
4847sseq1d 3524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( F " z
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( P  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  y
)  <->  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y ) ) )
5049cbvrexv 3082 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
5145, 50syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )
5219, 51impbid2 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
53 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
5453inex1 4581 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  A )  e.  _V )
56 uniexg 6572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  U. J  e.  _V )
58 simp1r 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  X
)
5958, 5syl6sseq 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  U. J
)
6057, 59ssexd 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  e.  _V )
61 elrest 14672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
6220, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
63 eleq2 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
64 elin 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
6564rbaib 900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  <->  P  e.  x ) )
669, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  <->  P  e.  x
) )
6763, 66sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x
) )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
6968imaeq2d 5328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
70 inss2 3712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
71 resima2 5298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
7369, 72syl6eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
7473sseq1d 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
7567, 74anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
7655, 62, 75rexxfr2d 4657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
7752, 76bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
7813, 77imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
7978ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
80 simp3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
8158, 9sseldd 3498 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  X
)
82 cnprest.2 . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. K
835, 82iscnp2 19499 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8483baib 898 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8520, 80, 81, 84syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
86 simp2r 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  F : X --> Y )
8786biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8885, 87bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
895toptopon 19194 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9020, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
91 resttopon 19421 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
9290, 58, 91syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A
) )
9382toptopon 19194 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
9480, 93sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
95 iscnp 19497 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9692, 94, 9, 95syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
97 fssres 5742 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A  C_  X )  -> 
( F  |`  A ) : A --> Y )
9886, 58, 97syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Y )
9998biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
10096, 99bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
10179, 88, 1003bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
1021013expia 1193 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( K  e.  Top  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) ) )
1032, 4, 102pm5.21ndd 354 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   U.cuni 4238    |` cres 4994   "cima 4995   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ↾t crest 14665   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   intcnt 19277    CnP ccnp 19485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-ntr 19280  df-cnp 19488
This theorem is referenced by:  limcres  22018  dvcnvrelem2  22147  psercn  22548  abelth  22563  cxpcn3  22843  efrlim  23020  cvmlift2lem11  28384  cvmlift2lem12  28385  cvmlift3lem7  28396  cncfuni  31180  cncfiooicclem1  31187  dirkercncflem4  31361  fourierdlem62  31424
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