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Theorem cnprest 19895
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )

Proof of Theorem cnprest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 19849 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top ) )
3 cnptop2 19849 . . 3  |-  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
)
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
65ntrss2 19662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  C_  A )
763ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  C_  A )
8 simp2l 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
97, 8sseldd 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  A
)
10 fvres 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  =  ( F `
 P ) )
1211eqcomd 2400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F `  P )  =  ( ( F  |`  A ) `
 P ) )
1312eleq1d 2461 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F `
 P )  e.  y  <->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y ) )
14 inss1 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
15 imass2 5297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
16 sstr2 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
1817anim2i 567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
1918reximi 2860 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
20 simp1l 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
215ntropn 19654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  e.  J )
22213ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  e.  J )
23 inopn 19512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
24233com23 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
25243expia 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
2620, 22, 25syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
27 elin 3614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
) )
2827simplbi2com 625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  A
)  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
298, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
30 sslin 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( int `  J
) `  A )  C_  A  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
317, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
32 imass2 5297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) ) 
C_  ( x  i^i 
A )  ->  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
34 sstr2 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  ( F " ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3629, 35anim12d 561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3726, 36anim12d 561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) )  e.  J  /\  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) )  /\  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) ) )
38 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) )
39 imaeq2 5258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) ) )
4039sseq1d 3457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) 
C_  y ) )
4138, 40anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
4241rspcev 3148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J  /\  ( P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  /\  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
4337, 42syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4443expdimp 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4544rexlimdva 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
46 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
47 imaeq2 5258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( F " z )  =  ( F " x
) )
4847sseq1d 3457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( F " z
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
4946, 48anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( P  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  y
)  <->  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y ) ) )
5049cbvrexv 3023 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
5145, 50syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )
5219, 51impbid2 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
53 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
5453inex1 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  A )  e.  _V )
56 uniexg 6514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  U. J  e.  _V )
58 simp1r 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  X
)
5958, 5syl6sseq 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  U. J
)
6057, 59ssexd 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  e.  _V )
61 elrest 14854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
6220, 60, 61syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
63 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
64 elin 3614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
6564rbaib 904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  <->  P  e.  x ) )
669, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  <->  P  e.  x
) )
6763, 66sylan9bbr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x
) )
68 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
6968imaeq2d 5262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
70 inss2 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
71 resima2 5232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
7369, 72syl6eq 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
7473sseq1d 3457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
7567, 74anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
7655, 62, 75rexxfr2d 4592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
7752, 76bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
7813, 77imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
7978ralbidv 2831 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
80 simp3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
8158, 9sseldd 3431 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  X
)
82 cnprest.2 . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. K
835, 82iscnp2 19845 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8483baib 901 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8520, 80, 81, 84syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
86 simp2r 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  F : X --> Y )
8786biantrurd 506 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8885, 87bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
895toptopon 19538 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9020, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
91 resttopon 19767 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
9290, 58, 91syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A
) )
9382toptopon 19538 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
9480, 93sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
95 iscnp 19843 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9692, 94, 9, 95syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9786, 58fssresd 5673 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Y )
9897biantrurd 506 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9996, 98bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
10079, 88, 993bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
1011003expia 1196 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( K  e.  Top  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) ) )
1022, 4, 101pm5.21ndd 352 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2742   E.wrex 2743   _Vcvv 3047    i^i cin 3401    C_ wss 3402   U.cuni 4176    |` cres 4928   "cima 4929   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   ↾t crest 14847   Topctop 19498  TopOnctopon 19499   intcnt 19622    CnP ccnp 19831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-fin 7457  df-fi 7804  df-rest 14849  df-topgen 14870  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-ntr 19625  df-cnp 19834
This theorem is referenced by:  limcres  22394  dvcnvrelem2  22523  psercn  22925  abelth  22940  cxpcn3  23228  efrlim  23435  cvmlift2lem11  28983  cvmlift2lem12  28984  cvmlift3lem7  28995  cncfuni  31890  cncfiooicclem1  31897  dirkercncflem4  32089  fourierdlem62  32152
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