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Theorem cnprest 17307
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )

Proof of Theorem cnprest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 17261 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top ) )
3 cnptop2 17261 . . 3  |-  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  ->  K  e.  Top )
)
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
65ntrss2 17076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  C_  A )
763ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  C_  A )
8 simp2l 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
97, 8sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  A
)
10 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  =  ( F `
 P ) )
1211eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F `  P )  =  ( ( F  |`  A ) `
 P ) )
1312eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F `
 P )  e.  y  <->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y ) )
14 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
15 imass2 5199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
16 sstr2 3315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
1817anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
1918reximi 2773 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
20 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
215ntropn 17068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  e.  J )
22213ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  e.  J )
23 inopn 16927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
24233com23 1159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
25243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
2620, 22, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
27 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
) )
2827simplbi2com 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  A
)  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
298, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
30 sslin 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( int `  J
) `  A )  C_  A  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
317, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
32 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) ) 
C_  ( x  i^i 
A )  ->  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
34 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  ( F " ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3629, 35anim12d 547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3726, 36anim12d 547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) )  e.  J  /\  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) )  /\  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) ) )
38 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) )
39 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) ) )
4039sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) 
C_  y ) )
4138, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
4241rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J  /\  ( P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  /\  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
4337, 42syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4443expdimp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4544rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
46 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
47 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( F " z )  =  ( F " x
) )
4847sseq1d 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( F " z
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
4946, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( P  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  y
)  <->  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y ) ) )
5049cbvrexv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
5145, 50syl6ib 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )
5219, 51impbid2 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
53 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
5453inex1 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  A )  e.  _V )
56 uniexg 4665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  U. J  e.  _V )
58 simp1r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  X
)
5958, 5syl6sseq 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  U. J
)
6057, 59ssexd 4310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  e.  _V )
61 elrest 13610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
6220, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
63 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
64 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
6564rbaib 874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  <->  P  e.  x ) )
669, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  <->  P  e.  x
) )
6763, 66sylan9bbr 682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x
) )
68 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
6968imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
70 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
71 resima2 5138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
7369, 72syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
7473sseq1d 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
7567, 74anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
7655, 62, 75rexxfr2d 4699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
7752, 76bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y )  <->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
7813, 77imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
7978ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
80 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
8158, 9sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  X
)
82 cnprest.2 . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. K
835, 82iscnp2 17257 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8483baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8520, 80, 81, 84syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
86 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  F : X --> Y )
8786biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
8885, 87bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
895toptopon 16953 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9020, 89sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
91 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
9290, 58, 91syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A
) )
9382toptopon 16953 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
9480, 93sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
95 iscnp 17255 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9692, 94, 9, 95syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
97 fssres 5569 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A  C_  X )  -> 
( F  |`  A ) : A --> Y )
9886, 58, 97syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Y )
9998biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
10096, 99bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
10179, 88, 1003bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
1021013expia 1155 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( K  e.  Top  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) ) )
1032, 4, 102pm5.21ndd 344 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   U.cuni 3975    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036    CnP ccnp 17243
This theorem is referenced by:  limcres  19726  dvcnvrelem2  19855  psercn  20295  abelth  20310  cxpcn3  20585  efrlim  20761  cvmlift2lem11  24953  cvmlift2lem12  24954  cvmlift3lem7  24965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-ntr 17039  df-cnp 17246
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