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Theorem cnpnei 18873
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1  |-  X  = 
U. J
cnpnei.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpnei  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables  g 
o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5194 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
2 fdm 5568 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
31, 2syl5sseq 3409 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F "
y )  C_  X
)
433ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( `' F "
y )  C_  X
)
54ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
6 neii2 18717 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) )  ->  E. g  e.  K  ( {
( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) )
763ad2antl2 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  ->  E. g  e.  K  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )
87ad2ant2rl 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  E. g  e.  K  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )
9 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
10 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  g  e.  K
)
11 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
1211snss 4004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  A )  e.  g  <->  { ( F `  A ) }  C_  g )
1312biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( F `  A
) }  C_  g  ->  ( F `  A
)  e.  g )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
)  ->  ( F `  A )  e.  g )
1514ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  g )
169, 10, 153jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A
)  e.  g ) )
1716adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  g ) )
18 cnpimaex 18865 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  g )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o
)  C_  g )
)
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o )  C_  g ) )
20 sstr2 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " o ) 
C_  g  ->  (
g  C_  y  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2120com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g 
C_  y  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2221ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
24 ffun 5566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
25243ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  ->  Fun  F )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  Fun  F )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  Fun  F )
28 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  = 
U. J
2928eltopss 18525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
3029adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  X )
312sseq2d 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> Y  -> 
( o  C_  dom  F  <-> 
o  C_  X )
)
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  ( o  C_ 
dom  F  <->  o  C_  X
) )
3330, 32mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
34333adantl2 1145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
3534adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_ 
dom  F )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_ 
dom  F )
38 funimass3 5824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  o  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
o )  C_  y  <->  o 
C_  ( `' F " y ) ) )
3927, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  y  <->  o  C_  ( `' F " y ) ) )
4023, 39sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  o 
C_  ( `' F " y ) ) )
4140anim2d 565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  /\  ( F "
o )  C_  g
)  ->  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) ) )
4241reximdva 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o
)  C_  g )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4319, 42mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) )
448, 43rexlimddv 2850 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) )
4528isneip 18714 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
46453ad2antl1 1150 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
4746adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
485, 44, 47mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
4948exp32 605 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5049ralrimdv 2810 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
51 simpll3 1029 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F : X --> Y )
52 opnneip 18728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  o  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  o )  -> 
o  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 A ) } ) )
53 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  o  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " o ) )
5453eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  o  ->  (
( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )
5554rspcv 3074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  ( ( nei `  K ) `  {
( F `  A
) } )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
5652, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  o  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  o )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
57563com23 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( F `  A )  e.  o  /\  o  e.  K )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
58573expb 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( F `  A )  e.  o  /\  o  e.  K
) )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
59583ad2antl2 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  ( ( F `
 A )  e.  o  /\  o  e.  K ) )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
6059adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
61 neii2 18717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) )
6261ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
63623ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
65 snssg 4012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
6665ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
6725ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  Fun  F )
6828eltopss 18525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  g  e.  J )  ->  g  C_  X )
69683ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  J
)  ->  g  C_  X )
702sseq2d 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X --> Y  -> 
( g  C_  dom  F  <-> 
g  C_  X )
)
71703ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( g  C_  dom  F  <-> 
g  C_  X )
)
7271biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  C_  X
)  ->  g  C_  dom  F )
7369, 72syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  J
)  ->  g  C_  dom  F )
7473adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  g  e.  J )  ->  g  C_ 
dom  F )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  g  C_ 
dom  F )
76 funimass3 5824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  g  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
g )  C_  o  <->  g 
C_  ( `' F " o ) ) )
7767, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( F " g
)  C_  o  <->  g  C_  ( `' F " o ) ) )
7866, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( A  e.  g  /\  ( F "
g )  C_  o
)  <->  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F "
o ) ) ) )
7978biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) )  ->  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8079reximdva 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8160, 64, 803syld 55 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8281exp32 605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  e.  o  ->  ( o  e.  K  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
8382com24 87 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
o  e.  K  -> 
( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
8483imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( o  e.  K  ->  ( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) )
8584ralrimiv 2803 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A. o  e.  K  ( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) )
86 cnpnei.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
8728, 86iscnp2 18848 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
8887baib 896 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  (
( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
89883expa 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
90893adantl3 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
9190adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
9251, 85, 91mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
9392ex 434 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
9450, 93impbid 191 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   {csn 3882   U.cuni 4096   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Topctop 18503   neicnei 18706    CnP ccnp 18834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-map 7221  df-top 18508  df-topon 18511  df-nei 18707  df-cnp 18837
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