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Theorem cnpnei 20357
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1  |-  X  = 
U. J
cnpnei.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpnei  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables  g 
o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5194 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
2 fdm 5745 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
31, 2syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F "
y )  C_  X
)
433ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( `' F "
y )  C_  X
)
54ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
6 neii2 20201 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) )  ->  E. g  e.  K  ( {
( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) )
763ad2antl2 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  ->  E. g  e.  K  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )
87ad2ant2rl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  E. g  e.  K  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )
9 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
10 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  g  e.  K
)
11 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
1211snss 4087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  A )  e.  g  <->  { ( F `  A ) }  C_  g )
1312biimpri 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( F `  A
) }  C_  g  ->  ( F `  A
)  e.  g )
1413adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
)  ->  ( F `  A )  e.  g )
1514ad2antll 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  g )
169, 10, 153jca 1210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A
)  e.  g ) )
1716adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  g ) )
18 cnpimaex 20349 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  g )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o
)  C_  g )
)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o )  C_  g ) )
20 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " o ) 
C_  g  ->  (
g  C_  y  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2120com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g 
C_  y  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2221ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2322ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
24 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
25243ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  ->  Fun  F )
2625ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  Fun  F )
2726ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  Fun  F )
28 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  = 
U. J
2928eltopss 20014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
3029adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  X )
312sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> Y  -> 
( o  C_  dom  F  <-> 
o  C_  X )
)
3231ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  ( o  C_ 
dom  F  <->  o  C_  X
) )
3330, 32mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
34333adantl2 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
3534adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_ 
dom  F )
3635adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
3736adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_ 
dom  F )
38 funimass3 6013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  o  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
o )  C_  y  <->  o 
C_  ( `' F " y ) ) )
3927, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  y  <->  o  C_  ( `' F " y ) ) )
4023, 39sylibd 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  o 
C_  ( `' F " y ) ) )
4140anim2d 575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  /\  ( F "
o )  C_  g
)  ->  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) ) )
4241reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o
)  C_  g )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4319, 42mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) )
448, 43rexlimddv 2875 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) )
4528isneip 20198 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
46453ad2antl1 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
4746adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
485, 44, 47mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
4948exp32 616 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5049ralrimdv 2811 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
51 simpll3 1071 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F : X --> Y )
52 opnneip 20212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  o  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  o )  -> 
o  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 A ) } ) )
53 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  o  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " o ) )
5453eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  o  ->  (
( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )
5554rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  ( ( nei `  K ) `  {
( F `  A
) } )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
5652, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  o  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  o )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
57563com23 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( F `  A )  e.  o  /\  o  e.  K )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
58573expb 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( F `  A )  e.  o  /\  o  e.  K
) )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
59583ad2antl2 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  ( ( F `
 A )  e.  o  /\  o  e.  K ) )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
6059adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
61 neii2 20201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) )
6261ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
63623ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
6463ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
65 snssg 4096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
6665ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
6725ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  Fun  F )
6828eltopss 20014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  g  e.  J )  ->  g  C_  X )
69683ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  J
)  ->  g  C_  X )
702sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X --> Y  -> 
( g  C_  dom  F  <-> 
g  C_  X )
)
71703ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( g  C_  dom  F  <-> 
g  C_  X )
)
7271biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  C_  X
)  ->  g  C_  dom  F )
7369, 72syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  J
)  ->  g  C_  dom  F )
7473adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  g  e.  J )  ->  g  C_ 
dom  F )
7574adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  g  C_ 
dom  F )
76 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  g  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
g )  C_  o  <->  g 
C_  ( `' F " o ) ) )
7767, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( F " g
)  C_  o  <->  g  C_  ( `' F " o ) ) )
7866, 77anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( A  e.  g  /\  ( F "
g )  C_  o
)  <->  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F "
o ) ) ) )
7978biimprd 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) )  ->  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8079reximdva 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8160, 64, 803syld 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8281exp32 616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  e.  o  ->  ( o  e.  K  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
8382com24 89 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
o  e.  K  -> 
( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
8483imp 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( o  e.  K  ->  ( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) )
8584ralrimiv 2808 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A. o  e.  K  ( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) )
86 cnpnei.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
8728, 86iscnp2 20332 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
8887baib 919 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  (
( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
89883expa 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
90893adantl3 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
9190adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
9251, 85, 91mpbir2and 936 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
9392ex 441 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
9450, 93impbid 195 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994   neicnei 20190    CnP ccnp 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-nei 20191  df-cnp 20321
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