Theorem cnpnei 18873

Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnpnei.1	|- X = U. J
cnpnei.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnpnei	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Proof of Theorem cnpnei

Dummy variables g o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 5194	. . . . . . . 8 |- ( `' F " y ) C_ dom F
2		fdm 5568	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
3	1, 2	syl5sseq 3409	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " y ) C_ X )
4	3	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
5	4	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) C_ X )
6		neii2 18717	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
7	6	3ad2antl2 1151	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
8	7	ad2ant2rl 748	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
9		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
10		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> g e. K )
11		fvex 5706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` A ) e. _V
12	11	snss 4004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` A ) e. g <-> { ( F ` A ) } C_ g )
13	12	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { ( F ` A ) } C_ g -> ( F ` A ) e. g )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) -> ( F ` A ) e. g )
15	14	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F ` A ) e. g )
16	9, 10, 15	3jca 1168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) )
17	16	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) )
18		cnpimaex 18865	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
20		sstr2 3368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " o ) C_ g -> ( g C_ y -> ( F " o ) C_ y ) )
21	20	com12 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g C_ y -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
22	21	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
23	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
24		ffun 5566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
25	24	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> Fun F )
26	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> Fun F )
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> Fun F )
28		cnpnei.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = U. J
29	28	eltopss 18525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
30	29	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ X )
31	2	sseq2d 3389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X --> Y -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
32	31	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
33	30, 32	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
34	33	3adantl2 1145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
35	34	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
37	36	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
38		funimass3 5824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ o C_ dom F ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
39	27, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
40	23, 39	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> o C_ ( `' F " y ) ) )
41	40	anim2d 565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
42	41	reximdva 2833	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
43	19, 42	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
44	8, 43	rexlimddv 2850	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
45	28	isneip 18714	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
46	45	3ad2antl1 1150	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
47	46	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
48	5, 44, 47	mpbir2and 913	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
49	48	exp32 605	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
50	49	ralrimdv 2810	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
51		simpll3 1029	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F : X --> Y )
52		opnneip 18728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) )
53		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = o -> ( `' F " y ) = ( `' F " o ) )
54	53	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = o -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
55	54	rspcv 3074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
56	52, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
57	56	3com23 1193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
58	57	3expb 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
59	58	3ad2antl2 1151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
60	59	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
61		neii2 18717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) )
62	61	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
63	62	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
64	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
65		snssg 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. X -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
66	65	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
67	25	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> Fun F )
68	28	eltopss 18525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ g e. J ) -> g C_ X )
69	68	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ X )
70	2	sseq2d 3389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X --> Y -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
71	70	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
72	71	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g C_ X ) -> g C_ dom F )
73	69, 72	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
74	73	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
76		funimass3 5824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ g C_ dom F ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
77	67, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
78	66, 77	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) <-> ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
79	78	biimprd 223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
80	79	reximdva 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
81	60, 64, 80	3syld 55	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
82	81	exp32 605	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) e. o -> ( o e. K -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
83	82	com24 87	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
84	83	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) )
85	84	ralrimiv 2803	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
86		cnpnei.2	. . . . . . . . 9 |- Y = U. K
87	28, 86	iscnp2 18848	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
88	87	baib 896	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
89	88	3expa 1187	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
90	89	3adantl3 1146	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
91	90	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
92	51, 85, 91	mpbir2and 913	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
93	92	ex 434	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
94	50, 93	impbid 191	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   C_ wss 3333   {csn 3882   U.cuni 4096   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Topctop 18503   neicnei 18706   CnP ccnp 18834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-map 7221  df-top 18508  df-topon 18511  df-nei 18707  df-cnp 18837

This theorem is referenced by: (None)