MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Unicode version

Theorem cnplimc 22583
Description: A function is continuous at  B iff its limit at  B equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
cnplimc.j  |-  J  =  ( Kt  A )
Assertion
Ref Expression
cnplimc  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )

Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  A )
2 cnplimc.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 21582 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  CC )
5 resttopon 19955 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  A  C_  CC )  ->  ( Kt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
63, 4, 5sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( Kt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
71, 6syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  A )
)
8 cnpf2 20044 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  F : A
--> CC )
983expia 1199 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  F : A --> CC ) )
107, 3, 9sylancl 660 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  F : A --> CC ) )
1110pm4.71rd 633 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) ) )
12 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  F : A
--> CC )
13 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  B  e.  A )
1413snssd 4117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  { B }  C_  A )
15 ssequn2 3616 . . . . . . . . 9  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1614, 15sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( A  u.  { B }
)  =  A )
1716feq2d 5701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F : ( A  u.  { B } ) --> CC  <->  F : A --> CC ) )
1812, 17mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  F :
( A  u.  { B } ) --> CC )
1918feqmptd 5902 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  F  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `
 x ) ) )
2016oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  A ) )
2120, 1syl6reqr 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
2221oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) )
2322fveq1d 5851 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( J  CnP  K ) `
 B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
2419, 23eleq12d 2484 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `
 x ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
25 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
26 ifid 3922 . . . . . . 7  |-  if ( x  =  B , 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x )
27 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2827adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  x  =  B )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2928ifeq1da 3915 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  ->  if ( x  =  B ,  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( x  =  B , 
( F `  B
) ,  ( F `
 x ) ) )
3026, 29syl5eqr 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( F `  x
)  =  if ( x  =  B , 
( F `  B
) ,  ( F `
 x ) ) )
3130mpteq2ia 4477 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `  x ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( F `  B ) ,  ( F `  x ) ) )
32 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  CC )
3332, 13sseldd 3443 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  B  e.  CC )
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 22569 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `
 x ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
3524, 34bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) )
3635pm5.32da 639 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  (
( F : A --> CC  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  <->  ( F : A
--> CC  /\  ( F `
 B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
3711, 36bitrd 253 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3412    C_ wss 3414   ifcif 3885   {csn 3972    |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036  ℂfldccnfld 18740  TopOnctopon 19687    CnP ccnp 20019   lim CC climc 22558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-rest 15037  df-topn 15038  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cnp 20022  df-xms 21115  df-ms 21116  df-limc 22562
This theorem is referenced by:  cnlimc  22584  dvcnp2  22615  dvmulbr  22634  dvcobr  22641  cncfiooicclem1  37064  jumpncnp  37069  dirkercncf  37257  fourierdlem32  37289  fourierdlem33  37290  fourierdlem62  37319  fouriercnp  37377
  Copyright terms: Public domain W3C validator