Theorem cnpimaex 9041

Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpimaex.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cnpimaex	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. K /\ (F` P) e. A)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ A))

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,J   x,P

Proof of Theorem cnpimaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpimaex.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.K = U.K
3	1, 2	iscnp 9036	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->U.K /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))))
4	3	simplbda 465	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))
5	4	ex 402	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))))
6		eleq2 1958	. . . . 5 |- (y = A -> ((F` P) e. y <-> (F` P) e. A))
7		sseq2 2639	. . . . . . 7 |- (y = A -> ((F"x) C_ y <-> (F"x) C_ A))
8	7	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (y = A -> ((P e. x /\ (F"x) C_ y) <-> (P e. x /\ (F"x) C_ A)))
9	8	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (y = A -> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ A)))
10	6, 9	imbi12d 688	. . . 4 |- (y = A -> (((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)) <-> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ A))))
11	10	rcla4cv 2377	. . 3 |- (A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)) -> (A e. K -> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ A))))
12	5, 11	syl6 25	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (A e. K -> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ A)))))
13	12	3imp2 1083	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. K /\ (F` P) e. A)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  "cima 3989  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   CnP ccnp 9029

This theorem is referenced by:  cnpnei 9043  cnpco 9046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-cnp 9031

Copyright terms: Public domain