Theorem cnph 9819

Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007; revised by nm 24-Jul-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnph.6	|- U = <.<. + , x. >., abs>.

Assertion

Ref	Expression
cnph	|- U e. CPreHil

Proof of Theorem cnph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnph.6	. 2 |- U = <.<. + , x. >., abs>.
2		addex 6470	. . . 4 |- + e. _V
3		mulex 6471	. . . 4 |- x. e. _V
4		axcnex 6419	. . . . 5 |- CC e. _V
5		df-abs 8004	. . . . 5 |- abs = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (sqr` (x x. (*` x))))}
6	4, 5	fopabex2 4541	. . . 4 |- abs e. _V
7		cnaddabl 9434	. . . . . . 7 |- + e. Abel
8		ablgrp 9410	. . . . . . 7 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- + e. Grp
10		axaddopr 6417	. . . . . . 7 |- + :(CC X. CC)-->CC
11	10	fdmi 4568	. . . . . 6 |- dom + = (CC X. CC)
12	9, 11	grprn 9336	. . . . 5 |- CC = ran +
13	12	isphg 9817	. . . 4 |- (( + e. _V /\ x. e. _V /\ abs e. _V) -> (<.<. + , x. >., abs>. e. CPreHil <-> (<.<. + , x. >., abs>. e. NrmCVec /\ A.x e. CC A.y e. CC (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x + (-u1 x. y)))^2)) = (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))))
14	2, 3, 6, 13	mp3an 1191	. . 3 |- (<.<. + , x. >., abs>. e. CPreHil <-> (<.<. + , x. >., abs>. e. NrmCVec /\ A.x e. CC A.y e. CC (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x + (-u1 x. y)))^2)) = (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)))))
15		eqid 1884	. . . 4 |- <.<. + , x. >., abs>. = <.<. + , x. >., abs>.
16	15	cnnv 9639	. . 3 |- <.<. + , x. >., abs>. e. NrmCVec
17		mulm1 6638	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. CC -> (-u1 x. y) = -uy)
18	17	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (-u1 x. y) = -uy)
19	18	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + (-u1 x. y)) = (x + -uy))
20		negsub 6540	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + -uy) = (x - y))
21	19, 20	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + (-u1 x. y)) = (x - y))
22	21	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (abs` (x + (-u1 x. y))) = (abs` (x - y)))
23	22	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((abs` (x + (-u1 x. y)))^2) = ((abs` (x - y))^2))
24	23	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x + (-u1 x. y)))^2)) = (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x - y))^2)))
25		sqabsadd 8099	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((abs` (x + y))^2) = ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (2 x. (Re` (x x. (*` y))))))
26		sqabssub 8100	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((abs` (x - y))^2) = ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) - (2 x. (Re` (x x. (*` y))))))
27	25, 26	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x - y))^2)) = (((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (2 x. (Re` (x x. (*` y))))) + ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) - (2 x. (Re` (x x. (*` y)))))))
28		addcl 6454	. . . . . . . 8 |- ((((abs` x)^2) e. CC /\ ((abs` y)^2) e. CC) -> (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) e. CC)
29		abscl 8084	. . . . . . . . . 10 |- (x e. CC -> (abs` x) e. RR)
30	29	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- (x e. CC -> (abs` x) e. CC)
31		sqcl 7856	. . . . . . . . 9 |- ((abs` x) e. CC -> ((abs` x)^2) e. CC)
32	30, 31	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> ((abs` x)^2) e. CC)
33		abscl 8084	. . . . . . . . . 10 |- (y e. CC -> (abs` y) e. RR)
34	33	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- (y e. CC -> (abs` y) e. CC)
35		sqcl 7856	. . . . . . . . 9 |- ((abs` y) e. CC -> ((abs` y)^2) e. CC)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . 8 |- (y e. CC -> ((abs` y)^2) e. CC)
37	28, 32, 36	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) e. CC)
38		mulcl 6456	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ (*` y) e. CC) -> (x x. (*` y)) e. CC)
39		cjcl 8014	. . . . . . . . 9 |- (y e. CC -> (*` y) e. CC)
40	38, 39	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x x. (*` y)) e. CC)
41		recl 8007	. . . . . . . . 9 |- ((x x. (*` y)) e. CC -> (Re` (x x. (*` y))) e. RR)
42	41	recnd 6468	. . . . . . . 8 |- ((x x. (*` y)) e. CC -> (Re` (x x. (*` y))) e. CC)
43		2cn 7164	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
44		mulcl 6456	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. CC /\ (Re` (x x. (*` y))) e. CC) -> (2 x. (Re` (x x. (*` y)))) e. CC)
45	43, 44	mpan 759	. . . . . . . 8 |- ((Re` (x x. (*` y))) e. CC -> (2 x. (Re` (x x. (*` y)))) e. CC)
46	40, 42, 45	3syl 24	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (2 x. (Re` (x x. (*` y)))) e. CC)
47		ppncan 6648	. . . . . . 7 |- (((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) e. CC /\ (2 x. (Re` (x x. (*` y)))) e. CC /\ (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) e. CC) -> (((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (2 x. (Re` (x x. (*` y))))) + ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) - (2 x. (Re` (x x. (*` y)))))) = ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
48	37, 46, 37, 47	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (2 x. (Re` (x x. (*` y))))) + ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) - (2 x. (Re` (x x. (*` y)))))) = ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
49	27, 48	eqtrd 1925	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x - y))^2)) = ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
50		2times 7188	. . . . . . 7 |- ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) e. CC -> (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))) = ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
51	50	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) e. CC -> ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))) = (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
52	37, 51	syl 12	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)) + (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))) = (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
53	24, 49, 52	3eqtrd 1929	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x + (-u1 x. y)))^2)) = (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2))))
54	53	rgen2a 2160	. . 3 |- A.x e. CC A.y e. CC (((abs` (x + y))^2) + ((abs` (x + (-u1 x. y)))^2)) = (2 x. (((abs` x)^2) + ((abs` y)^2)))
55	14, 16, 54	mpbir2an 800	. 2 |- <.<. + , x. >., abs>. e. CPreHil
56	1, 55	eqeltri 1967	1 |- U e. CPreHil

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  2c2 7145  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919  Recre 7997  *ccj 7999  abscabs 8000  Grpcgr 9311  Abelcabl 9407  NrmCVeccnv 9535  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  elimphu 9821  cnhl 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain