Theorem cnpfval 9033

Description: The function mapping the points in a topology J to the set of all functions from J to topology K continuous at that point.

Hypotheses

Ref	Expression
cnfval.1	|- X = U.J
cnfval.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnpfval	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J CnP K) = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})})

Distinct variable groups:   v,f,w,x,y,J   f,K,w,x,y   f,X,x,y   f,Y,y

Proof of Theorem cnpfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. . . 4 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
2		cnfval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
3	2	eleq1i 1960	. . . . 5 |- (X e. _V <-> U.J e. _V)
4	3	biimpri 169	. . . 4 |- (U.J e. _V -> X e. _V)
5		opabex2g 4540	. . . 4 |- (X e. _V -> {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})} e. _V)
6	1, 4, 5	3syl 24	. . 3 |- (J e. Top -> {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})} e. _V)
7	6	adantr 425	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})} e. _V)
8		unieq 3185	. . . . . . 7 |- (j = J -> U.j = U.J)
9	8, 2	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = X)
10	9	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (j = J -> (x e. U.j <-> x e. X))
11	9	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (j = J -> (U.k ^m U.j) = (U.k ^m X))
12		rabeq 2289	. . . . . . . 8 |- ((U.k ^m U.j) = (U.k ^m X) -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
13	11, 12	syl 12	. . . . . . 7 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
14		rexeq 2267	. . . . . . . . . 10 |- (j = J -> (E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w) <-> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w)))
15	14	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (j = J -> (((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w)) <-> ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))))
16	15	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (j = J -> (A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w)) <-> A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))))
17	16	rabbidv 2287	. . . . . . 7 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
18	13, 17	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
19	18	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (j = J -> (y = {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))} <-> y = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))}))
20	10, 19	anbi12d 690	. . . 4 |- (j = J -> ((x e. U.j /\ y = {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))}) <-> (x e. X /\ y = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})))
21	20	opabbidv 3401	. . 3 |- (j = J -> {<.x, y>. | (x e. U.j /\ y = {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))})} = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})})
22		unieq 3185	. . . . . . . . . 10 |- (k = K -> U.k = U.K)
23		cnfval.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = U.K
24	22, 23	syl6eqr 1946	. . . . . . . . 9 |- (k = K -> U.k = Y)
25	24	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (k = K -> (U.k ^m X) = (Y ^m X))
26		rabeq 2289	. . . . . . . 8 |- ((U.k ^m X) = (Y ^m X) -> {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (Y ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
27	25, 26	syl 12	. . . . . . 7 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (Y ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
28		raleq 2266	. . . . . . . 8 |- (k = K -> (A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w)) <-> A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))))
29	28	rabbidv 2287	. . . . . . 7 |- (k = K -> {f e. (Y ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
30	27, 29	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))} = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})
31	30	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (k = K -> (y = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))} <-> y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))}))
32	31	anbi2d 678	. . . 4 |- (k = K -> ((x e. X /\ y = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))}) <-> (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})))
33	32	opabbidv 3401	. . 3 |- (k = K -> {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (U.k ^m X) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})} = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})})
34		df-cnp 9031	. . 3 |- CnP = {<.<.j, k>., z>. | ((j e. Top /\ k e. Top) /\ z = {<.x, y>. | (x e. U.j /\ y = {f e. (U.k ^m U.j) | A.w e. k ((f` x) e. w -> E.v e. j (x e. v /\ (f"v) C_ w))})})}
35	21, 33, 34	oprabval2g 4956	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})} e. _V) -> (J CnP K) = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})})
36	7, 35	mpd3an3 1192	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J CnP K) = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = {f e. (Y ^m X) | A.w e. K ((f` x) e. w -> E.v e. J (x e. v /\ (f"v) C_ w))})})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  {copab 3395  "cima 3989  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  Topctop 8857   CnP ccnp 9029

This theorem is referenced by:  cnpval 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-cnp 9031

Copyright terms: Public domain