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Theorem cnpfval 19541
Description: The function mapping the points in a topology  J to the set of all functions from  J to topology  K continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
Distinct variable groups:    w, f, x, K    f, X, w, x    f, Y, w, x    v, f, J, w, x
Allowed substitution hints:    K( v)    X( v)    Y( v)

Proof of Theorem cnpfval
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cnp 19535 . . 3  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  CnP  =  ( j  e.  Top , 
k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } ) ) )
3 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
j  =  J )
43unieqd 4255 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. j  =  U. J )
5 toponuni 19235 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  X  =  U. J )
74, 6eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. j  =  X
)
8 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
k  =  K )
98unieqd 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. k  =  U. K )
10 toponuni 19235 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
1110ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  Y  =  U. K )
129, 11eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. k  =  Y
)
1312, 7oveq12d 6303 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( U. k  ^m  U. j )  =  ( Y  ^m  X ) )
143rexeqdv 3065 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  ( f
" v )  C_  w )  <->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) )
1514imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) )  <-> 
( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) ) )
168, 15raleqbidv 3072 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( A. w  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) )  <->  A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) ) )
1713, 16rabeqbidv 3108 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) }  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )
187, 17mpteq12dv 4525 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) )
19 topontop 19234 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  J  e.  Top )
21 topontop 19234 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
2221adantl 466 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  K  e.  Top )
23 ssrab2 3585 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  C_  ( Y  ^m  X )
24 ovex 6310 . . . . . . 7  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
2524elpw2 4611 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X )  <->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
2623, 25mpbir 209 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X )
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X ) )
28 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )
2927, 28fmptd 6046 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) : X --> ~P ( Y  ^m  X ) )
30 toponmax 19236 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  X  e.  J )
3224pwex 4630 . . . 4  |-  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V
3332a1i 11 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
34 fex2 6740 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) : X --> ~P ( Y  ^m  X
)  /\  X  e.  J  /\  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V )  ->  (
x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  e. 
_V )
3529, 31, 33, 34syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  e. 
_V )
362, 18, 20, 22, 35ovmpt2d 6415 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287    ^m cmap 7421   Topctop 19201  TopOnctopon 19202    CnP ccnp 19532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-top 19206  df-topon 19209  df-cnp 19535
This theorem is referenced by:  cnpval  19543  iscnp2  19546  cnambfre  29916
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