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Theorem cnpflfi 20626
Description: Forward direction of cnpflf 20628. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpflfi  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpflfi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 19875 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
51flimelbas 20595 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  A  e.  U. J )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  U. J )
74, 6ffvelrnd 6033 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  U. K )
8 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
9 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  x  e.  K )
10 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( F `  A
)  e.  x )
11 cnpimaex 19884 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
128, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
13 anass 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y
)  /\  ( F " y )  C_  x
)  <->  ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) )
14 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
15 flimtop 20592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  J  e.  Top )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
171toptopon 19561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
191flimfil 20596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
21 flimopn 20602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  L )  <->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  L
)  <->  ( A  e. 
U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2314, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) )
2423simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2625r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  y  e.  L
) )
2726expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  L ) )
2827anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  /\  ( F " y )  C_  x )  ->  (
y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  x ) ) )
2913, 28syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) )  -> 
( y  e.  L  /\  ( F " y
)  C_  x )
) )
3029reximdv2 2928 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  x )  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
3112, 30mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x )
3231expr 615 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  A
)  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x ) )
3332ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. x  e.  K  ( ( F `  A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
34 cnptop2 19871 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  Top )
362toptopon 19561 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3735, 36sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
38 isflf 20620 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
3937, 20, 4, 38syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
407, 33, 39mpbir2and 922 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   U.cuni 4251   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Topctop 19521  TopOnctopon 19522    CnP ccnp 19853   Filcfil 20472    fLim cflim 20561    fLimf cflf 20562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-topon 19529  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-cnp 19856  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567
This theorem is referenced by:  cnpflf2  20627  cnpflf  20628  flfcnp  20631  cnpfcfi  20667
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