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Theorem cnpflfi 20228
Description: Forward direction of cnpflf 20230. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpflfi  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpflfi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 19507 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
51flimelbas 20197 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  A  e.  U. J )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  U. J )
74, 6ffvelrnd 6013 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  U. K )
8 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
9 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  x  e.  K )
10 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( F `  A
)  e.  x )
11 cnpimaex 19516 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
128, 9, 10, 11syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
13 anass 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y
)  /\  ( F " y )  C_  x
)  <->  ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) )
14 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
15 flimtop 20194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  J  e.  Top )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
171toptopon 19194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
191flimfil 20198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
21 flimopn 20204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  L )  <->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  L
)  <->  ( A  e. 
U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2314, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) )
2423simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2625r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  y  e.  L
) )
2726expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  L ) )
2827anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  /\  ( F " y )  C_  x )  ->  (
y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  x ) ) )
2913, 28syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) )  -> 
( y  e.  L  /\  ( F " y
)  C_  x )
) )
3029reximdv2 2927 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  x )  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
3112, 30mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x )
3231expr 615 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  A
)  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x ) )
3332ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. x  e.  K  ( ( F `  A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
34 cnptop2 19503 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  Top )
362toptopon 19194 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3735, 36sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
38 isflf 20222 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
3937, 20, 4, 38syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
407, 33, 39mpbir2and 915 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   U.cuni 4238   "cima 4995   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Topctop 19154  TopOnctopon 19155    CnP ccnp 19485   Filcfil 20074    fLim cflim 20163    fLimf cflf 20164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-map 7412  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-top 19159  df-topon 19162  df-ntr 19280  df-nei 19358  df-cnp 19488  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169
This theorem is referenced by:  cnpflf2  20229  cnpflf  20230  flfcnp  20233  cnpfcfi  20269
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