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Theorem cnpflfi 19413
Description: Forward direction of cnpflf 19415. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpflfi  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpflfi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 18692 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
43adantl 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
51flimelbas 19382 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  A  e.  U. J )
65adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  U. J )
74, 6ffvelrnd 5832 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  U. K )
8 simplr 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
9 simprl 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  x  e.  K )
10 simprr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( F `  A
)  e.  x )
11 cnpimaex 18701 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
128, 9, 10, 11syl3anc 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
13 anass 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y
)  /\  ( F " y )  C_  x
)  <->  ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) )
14 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
15 flimtop 19379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  J  e.  Top )
1615adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
171toptopon 18379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
191flimfil 19383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
2019adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
21 flimopn 19389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  L )  <->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2218, 20, 21syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  L
)  <->  ( A  e. 
U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2314, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) )
2423simprd 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2524adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2625r19.21bi 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  y  e.  L
) )
2726expimpd 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  L ) )
2827anim1d 559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  /\  ( F " y )  C_  x )  ->  (
y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  x ) ) )
2913, 28syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) )  -> 
( y  e.  L  /\  ( F " y
)  C_  x )
) )
3029reximdv2 2815 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  x )  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
3112, 30mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x )
3231expr 610 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  A
)  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x ) )
3332ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. x  e.  K  ( ( F `  A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
34 cnptop2 18688 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
3534adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  Top )
362toptopon 18379 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3735, 36sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
38 isflf 19407 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
3937, 20, 4, 38syl3anc 1211 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
407, 33, 39mpbir2and 906 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3316   U.cuni 4079   "cima 4830   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Topctop 18339  TopOnctopon 18340    CnP ccnp 18670   Filcfil 19259    fLim cflim 19348    fLimf cflf 19349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-map 7204  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-top 18344  df-topon 18347  df-ntr 18465  df-nei 18543  df-cnp 18673  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354
This theorem is referenced by:  cnpflf2  19414  cnpflf  19415  flfcnp  19418  cnpfcfi  19454
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