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Theorem cnpflf2 20795
Description:  F is continuous at point  A iff a limit of  F when  x tends to  A is  ( F `  A ). Proposition 9 of [BourbakiTop1] p. TG I.50. (Contributed by FL, 29-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpflf2.3  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
Assertion
Ref Expression
cnpflf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )

Proof of Theorem cnpflf2
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 20046 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1199 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1157 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 simpl1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simpl3 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  X )
6 neiflim 20769 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )
7 cnpflf2.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
87oveq2i 6291 . . . . . 6  |-  ( J 
fLim  L )  =  ( J  fLim  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
96, 8syl6eleqr 2503 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  L
) )
104, 5, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
12 cnpflfi 20794 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
143, 13jca 532 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )
15 simpl1 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 topontop 19721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  Top )
18 simpl3 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  X )
19 toponuni 19722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
2118, 20eleqtrd 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  U. J )
227eleq2i 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  L  <->  z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2423isneip 19901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2522, 24syl5bb 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  L  <->  ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2617, 21, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
27 imass2 5194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  z  ->  ( F " v )  C_  ( F " z ) )
28 sstr2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( F "
z )  ->  (
( F " z
)  C_  u  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( F " v
)  C_  ( F " z )  ->  ( F " v )  C_  u ) )
3027, 29syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
v  C_  z  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
3130anim2d 565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( A  e.  v  /\  v  C_  z
)  ->  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3231reximdv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3332com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) )  ->  ( ( F
" z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3526, 34syl6bi 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3635rexlimdv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3736imim2d 53 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3837ralimdv 2816 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
39 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
4038, 39jctild 543 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
4140adantld 467 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
42 simpl2 1003 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4318snssd 4119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  C_  X )
44 snnzg 4091 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
4518, 44syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  =/=  (/) )
46 neifil 20675 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
4715, 43, 45, 46syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
487, 47syl5eqel 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
49 isflf 20788 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
5042, 48, 39, 49syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
51 iscnp 20033 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
5251adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  A
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
5341, 50, 523imtr4d 270 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
5453impr 619 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
5514, 54impbida 835 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3416   (/)c0 3740   {csn 3974   U.cuni 4193   "cima 4828   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Topctop 19688  TopOnctopon 19689   neicnei 19893    CnP ccnp 20021   Filcfil 20640    fLim cflim 20729    fLimf cflf 20730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-map 7461  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-top 19693  df-topon 19696  df-ntr 19815  df-nei 19894  df-cnp 20024  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735
This theorem is referenced by:  cnpflf  20796
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