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Theorem cnpflf2 19532
Description:  F is continuous at point  A iff a limit of  F when  x tends to  A is  ( F `  A ). Proposition 9 of [BourbakiTop1] p. TG I.50. (Contributed by FL, 29-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpflf2.3  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
Assertion
Ref Expression
cnpflf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )

Proof of Theorem cnpflf2
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 18813 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1141 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 simpl1 986 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simpl3 988 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  X )
6 neiflim 19506 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )
7 cnpflf2.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
87oveq2i 6101 . . . . . 6  |-  ( J 
fLim  L )  =  ( J  fLim  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
96, 8syl6eleqr 2532 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  L
) )
104, 5, 9syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
11 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
12 cnpflfi 19531 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
1310, 11, 12syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
143, 13jca 529 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )
15 simpl1 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 topontop 18490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  Top )
18 simpl3 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  X )
19 toponuni 18491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
2118, 20eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  U. J )
227eleq2i 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  L  <->  z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
23 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2423isneip 18668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2522, 24syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  L  <->  ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2617, 21, 25syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
27 imass2 5201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  z  ->  ( F " v )  C_  ( F " z ) )
28 sstr2 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( F "
z )  ->  (
( F " z
)  C_  u  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( F " v
)  C_  ( F " z )  ->  ( F " v )  C_  u ) )
3027, 29syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
v  C_  z  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
3130anim2d 562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( A  e.  v  /\  v  C_  z
)  ->  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3231reximdv 2825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3332com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3433adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) )  ->  ( ( F
" z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3526, 34syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3635rexlimdv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3736imim2d 52 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3837ralimdv 2793 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
39 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
4038, 39jctild 540 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
4140adantld 464 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
42 simpl2 987 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4318snssd 4015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  C_  X )
44 snnzg 3989 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
4518, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  =/=  (/) )
46 neifil 19412 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
4715, 43, 45, 46syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
487, 47syl5eqel 2525 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
49 isflf 19525 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
5042, 48, 39, 49syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
51 iscnp 18800 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
5251adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  A
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
5341, 50, 523imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
5453impr 616 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
5514, 54impbida 823 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   neicnei 18660    CnP ccnp 18788   Filcfil 19377    fLim cflim 19466    fLimf cflf 19467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-topon 18465  df-ntr 18583  df-nei 18661  df-cnp 18791  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472
This theorem is referenced by:  cnpflf  19533
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