Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpflf Structured version   Unicode version

Theorem cnpflf 20329
 Description: Continuity of a function at a point in terms of filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpflf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cnpflf
StepHypRef Expression
1 cnpf2 19557 . . . . . 6 TopOn TopOn
213expa 1196 . . . . 5 TopOn TopOn
323adantl3 1154 . . . 4 TopOn TopOn
4 cnpflfi 20327 . . . . . . 7
54expcom 435 . . . . . 6
65ralrimivw 2879 . . . . 5
76adantl 466 . . . 4 TopOn TopOn
83, 7jca 532 . . 3 TopOn TopOn
98ex 434 . 2 TopOn TopOn
10 simpl1 999 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
11 simpl3 1001 . . . . . 6 TopOn TopOn
12 neiflim 20302 . . . . . 6 TopOn
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5 TopOn TopOn
1411snssd 4172 . . . . . . 7 TopOn TopOn
15 snnzg 4144 . . . . . . . 8
1611, 15syl 16 . . . . . . 7 TopOn TopOn
17 neifil 20208 . . . . . . 7 TopOn
1810, 14, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . 6 TopOn TopOn
19 oveq2 6293 . . . . . . . . 9
2019eleq2d 2537 . . . . . . . 8
21 oveq2 6293 . . . . . . . . . 10
2221fveq1d 5868 . . . . . . . . 9
2322eleq2d 2537 . . . . . . . 8
2420, 23imbi12d 320 . . . . . . 7
2524rspcv 3210 . . . . . 6
2618, 25syl 16 . . . . 5 TopOn TopOn
2713, 26mpid 41 . . . 4 TopOn TopOn
2827imdistanda 693 . . 3 TopOn TopOn
29 eqid 2467 . . . 4
3029cnpflf2 20328 . . 3 TopOn TopOn
3128, 30sylibrd 234 . 2 TopOn TopOn
329, 31impbid 191 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814   wss 3476  c0 3785  csn 4027  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285  TopOnctopon 19202  cnei 19404   ccnp 19532  cfil 20173   cflim 20262   cflf 20263 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7423  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-top 19206  df-topon 19209  df-ntr 19327  df-nei 19405  df-cnp 19535  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268 This theorem is referenced by:  cnflf  20330  cnpfcf  20369
 Copyright terms: Public domain W3C validator