Theorem cnpfcfi 20519

Description: Lemma for cnpfcf 20520. If a function is continuous at a point, it respects clustering there. (Contributed by Jeff Hankins, 20-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpfcfi	|- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf L ) ` F ) )

Proof of Theorem cnpfcfi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. ( J fClus L ) )
2		eqid 2443	. . . . . 6 |- U. J = U. J
3	2	fclsfil 20489	. . . . 5 |- ( A e. ( J fClus L ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
4	3	3ad2ant2 1019	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
5		fclsfnflim 20506	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` U. J ) -> ( A e. ( J fClus L ) <-> E. f e. ( Fil ` U. J ) ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( A e. ( J fClus L ) <-> E. f e. ( Fil ` U. J ) ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 210	. 2 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> E. f e. ( Fil ` U. J ) ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) )
8		simpl1 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> K e. Top )
9		eqid 2443	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 19412	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> f e. ( Fil ` U. J ) )
13	2, 9	cnpf 19726	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> F : U. J --> U. K )
14	13	3ad2ant3 1020	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : U. J --> U. K )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> F : U. J --> U. K )
16		flfssfcf 20517	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ f e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf f ) ` F ) )
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1229	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf f ) ` F ) )
18	9	topopn 19393	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top -> U. K e. K )
19	8, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> U. K e. K )
20	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
21		filfbas 20327	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( Fil ` U. J ) -> L e. ( fBas ` U. J ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> L e. ( fBas ` U. J ) )
23		fmfil 20423	. . . . . . 7 |- ( ( U. K e. K /\ L e. ( fBas ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` U. K ) )
24	19, 22, 15, 23	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` U. K ) )
25		filfbas 20327	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( Fil ` U. J ) -> f e. ( fBas ` U. J ) )
26	25	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> f e. ( fBas ` U. J ) )
27		simprrl 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> L C_ f )
28		fmss 20425	. . . . . . 7 |- ( ( ( U. K e. K /\ L e. ( fBas ` U. J ) /\ f e. ( fBas ` U. J ) ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ L C_ f ) ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) C_ ( ( U. K FilMap F ) ` f ) )
29	19, 22, 26, 15, 27, 28	syl32anc 1237	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) C_ ( ( U. K FilMap F ) ` f ) )
30		fclsss2 20502	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( ( U. K FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` U. K ) /\ ( ( U. K FilMap F ) ` L ) C_ ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) -> ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) C_ ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
31	11, 24, 29, 30	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) C_ ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
32		fcfval 20512	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ f e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) )
33	11, 12, 15, 32	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) )
34		fcfval 20512	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( K fClusf L ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
35	11, 20, 15, 34	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf L ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
36	31, 33, 35	3sstr4d 3532	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf L ) ` F ) )
37	17, 36	sstrd 3499	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf L ) ` F ) )
38		simprrr 766	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> A e. ( J fLim f ) )
39		simpl3 1002	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
40		cnpflfi 20478	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim f ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) )
42	37, 41	sseldd 3490	. 2 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf L ) ` F ) )
43	7, 42	rexlimddv 2939	1 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf L ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   E.wrex 2794   C_ wss 3461   U.cuni 4234   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   fBascfbas 18385   Topctop 19372  TopOnctopon 19373   CnP ccnp 19704   Filcfil 20324   FilMap cfm 20412   fLim cflim 20413   fLimf cflf 20414   fClus cfcls 20415   fClusf cfcf 20416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-topon 19380  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-cnp 19707  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-fcls 20420  df-fcf 20421

This theorem is referenced by:  cnpfcf  20520