Theorem cnpfcfi 19611

Description: Lemma for cnpfcf 19612. If a function is continuous at a point, it respects clustering there. (Contributed by Jeff Hankins, 20-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpfcfi	|- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf L ) ` F ) )

Proof of Theorem cnpfcfi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 989	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. ( J fClus L ) )
2		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. J = U. J
3	2	fclsfil 19581	. . . . 5 |- ( A e. ( J fClus L ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
4	3	3ad2ant2 1010	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
5		fclsfnflim 19598	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` U. J ) -> ( A e. ( J fClus L ) <-> E. f e. ( Fil ` U. J ) ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( A e. ( J fClus L ) <-> E. f e. ( Fil ` U. J ) ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 210	. 2 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> E. f e. ( Fil ` U. J ) ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) )
8		simpl1 991	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> K e. Top )
9		eqid 2441	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 18536	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> f e. ( Fil ` U. J ) )
13	2, 9	cnpf 18849	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> F : U. J --> U. K )
14	13	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : U. J --> U. K )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> F : U. J --> U. K )
16		flfssfcf 19609	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ f e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf f ) ` F ) )
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf f ) ` F ) )
18	9	topopn 18517	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top -> U. K e. K )
19	8, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> U. K e. K )
20	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
21		filfbas 19419	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( Fil ` U. J ) -> L e. ( fBas ` U. J ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> L e. ( fBas ` U. J ) )
23		fmfil 19515	. . . . . . 7 |- ( ( U. K e. K /\ L e. ( fBas ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` U. K ) )
24	19, 22, 15, 23	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` U. K ) )
25		filfbas 19419	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( Fil ` U. J ) -> f e. ( fBas ` U. J ) )
26	25	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> f e. ( fBas ` U. J ) )
27		simprrl 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> L C_ f )
28		fmss 19517	. . . . . . 7 |- ( ( ( U. K e. K /\ L e. ( fBas ` U. J ) /\ f e. ( fBas ` U. J ) ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ L C_ f ) ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) C_ ( ( U. K FilMap F ) ` f ) )
29	19, 22, 26, 15, 27, 28	syl32anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( U. K FilMap F ) ` L ) C_ ( ( U. K FilMap F ) ` f ) )
30		fclsss2 19594	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( ( U. K FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` U. K ) /\ ( ( U. K FilMap F ) ` L ) C_ ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) -> ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) C_ ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
31	11, 24, 29, 30	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) C_ ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
32		fcfval 19604	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ f e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) )
33	11, 12, 15, 32	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` f ) ) )
34		fcfval 19604	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( K fClusf L ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
35	11, 20, 15, 34	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf L ) ` F ) = ( K fClus ( ( U. K FilMap F ) ` L ) ) )
36	31, 33, 35	3sstr4d 3397	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf L ) ` F ) )
37	17, 36	sstrd 3364	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) C_ ( ( K fClusf L ) ` F ) )
38		simprrr 764	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> A e. ( J fLim f ) )
39		simpl3 993	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
40		cnpflfi 19570	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim f ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) )
42	37, 41	sseldd 3355	. 2 |- ( ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( f e. ( Fil ` U. J ) /\ ( L C_ f /\ A e. ( J fLim f ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf L ) ` F ) )
43	7, 42	rexlimddv 2843	1 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf L ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2714   C_ wss 3326   U.cuni 4089   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   fBascfbas 17802   Topctop 18496  TopOnctopon 18497   CnP ccnp 18827   Filcfil 19416   FilMap cfm 19504   fLim cflim 19505   fLimf cflf 19506   fClus cfcls 19507   fClusf cfcf 19508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-top 18501  df-topon 18504  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-cnp 18830  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-fcls 19512  df-fcf 19513

This theorem is referenced by:  cnpfcf  19612