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Theorem cnpfcf 21056
Description: A function  F is continuous at point  A iff  F respects cluster points there. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, J    f, K    f, X    f, Y

Proof of Theorem cnpfcf
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 20266 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1208 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1166 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 topontop 19941 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5 cnpfcfi 21055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
653com23 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  A  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
763expia 1210 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
84, 7sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
98ralrimivw 2803 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
1093ad2antl2 1171 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
113, 10jca 535 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
1211ex 436 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
13 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
14 filfbas 20863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ( fBas `  X )
)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  X ) )
16 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  h  e.  ( Fil `  Y ) )
17 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  F : X --> Y )
18 simprr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h )
1915, 16, 17, 18fmfnfm 20973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
20 r19.29 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g 
C_  f  /\  h  =  ( ( Y 
FilMap  F ) `  f
) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) ) )
21 flimfcls 21041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J 
fLim  f )  C_  ( J  fClus  f )
22 simpll1 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2322ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
24 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
25 simprrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
g  C_  f )
26 flimss2 20987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  C_  f )  ->  ( J  fLim  g )  C_  ( J  fLim  f ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  C_  ( J  fLim  f ) )
28 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g
) )
2928ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g ) )
3027, 29sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f ) )
3121, 30sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  f ) )
32 simpll2 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3332ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
34 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  F : X --> Y )
3534ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
36 fcfval 21048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fClusf  f ) `
 F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
3733, 24, 35, 36syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
38 simprrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )
3938oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( K  fClus  h )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
4037, 39eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  h ) )
4140eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4241biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) )
4331, 42embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4443expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
4544com23 81 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
4645impd 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4746rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( E. f  e.  ( Fil `  X
) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4820, 47syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4919, 48mpan2d 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
5049expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5150com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5251ralrimdva 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
53 toponmax 19943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
5432, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  e.  K )
55 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( Fil `  X
) )
5655, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( fBas `  X
) )
57 fmfil 20959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  K  /\  g  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g )  e.  ( Fil `  Y
) )
5854, 56, 34, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  Y
) )
59 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6032, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  =  U. K )
6160fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( Fil `  Y )  =  ( Fil `  U. K ) )
6258, 61eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K ) )
63 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
6463flimfnfcls 21043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
6562, 64syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
66 flfval 21005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6732, 55, 34, 66syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6867eleq2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) ) ) )
6961raleqdv 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  Y ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h ) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7065, 68, 693bitr4d 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7152, 70sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) )
7271expr 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7372com23 81 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7473ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7574imdistanda 699 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
76 cnpflf 21016 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
7775, 76sylibrd 238 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
7812, 77impbid 194 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   U.cuni 4198   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   fBascfbas 18958   Topctop 19917  TopOnctopon 19918    CnP ccnp 20241   Filcfil 20860    FilMap cfm 20948    fLim cflim 20949    fLimf cflf 20950    fClus cfcls 20951    fClusf cfcf 20952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cnp 20244  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-fcls 20956  df-fcf 20957
This theorem is referenced by:  cnfcf  21057
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