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Theorem cnpfcf 20305
Description: A function  F is continuous at point  A iff  F respects cluster points there. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, J    f, K    f, X    f, Y

Proof of Theorem cnpfcf
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 19545 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1154 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 topontop 19222 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5 cnpfcfi 20304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
653com23 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  A  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
763expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
84, 7sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
98ralrimivw 2879 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
1093ad2antl2 1159 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
113, 10jca 532 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
1211ex 434 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
13 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
14 filfbas 20112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ( fBas `  X )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  X ) )
16 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  h  e.  ( Fil `  Y ) )
17 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  F : X --> Y )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h )
1915, 16, 17, 18fmfnfm 20222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
20 r19.29 2997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g 
C_  f  /\  h  =  ( ( Y 
FilMap  F ) `  f
) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) ) )
21 flimfcls 20290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J 
fLim  f )  C_  ( J  fClus  f )
22 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
25 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
g  C_  f )
26 flimss2 20236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  C_  f )  ->  ( J  fLim  g )  C_  ( J  fLim  f ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  C_  ( J  fLim  f ) )
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g
) )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g ) )
3027, 29sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f ) )
3121, 30sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  f ) )
32 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
34 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  F : X --> Y )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
36 fcfval 20297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fClusf  f ) `
 F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
3733, 24, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
38 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )
3938oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( K  fClus  h )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
4037, 39eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  h ) )
4140eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) )
4331, 42embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4443expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
4544com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
4645impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4746rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( E. f  e.  ( Fil `  X
) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4820, 47syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4919, 48mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
5049expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5251ralrimdva 2882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
53 toponmax 19224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
5432, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  e.  K )
55 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( Fil `  X
) )
5655, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( fBas `  X
) )
57 fmfil 20208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  K  /\  g  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g )  e.  ( Fil `  Y
) )
5854, 56, 34, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  Y
) )
59 toponuni 19223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  =  U. K )
6160fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( Fil `  Y )  =  ( Fil `  U. K ) )
6258, 61eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K ) )
63 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
6463flimfnfcls 20292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
66 flfval 20254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6732, 55, 34, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6867eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) ) ) )
6961raleqdv 3064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  Y ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h ) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7065, 68, 693bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7152, 70sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) )
7271expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7372com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7473ralrimdva 2882 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7574imdistanda 693 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
76 cnpflf 20265 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
7775, 76sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
7812, 77impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   U.cuni 4245   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   fBascfbas 18205   Topctop 19189  TopOnctopon 19190    CnP ccnp 19520   Filcfil 20109    FilMap cfm 20197    fLim cflim 20198    fLimf cflf 20199    fClus cfcls 20200    fClusf cfcf 20201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-topon 19197  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cnp 19523  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-fcls 20205  df-fcf 20206
This theorem is referenced by:  cnfcf  20306
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