MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpfcf Structured version   Unicode version

Theorem cnpfcf 20667
Description: A function  F is continuous at point  A iff  F respects cluster points there. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, J    f, K    f, X    f, Y

Proof of Theorem cnpfcf
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 19877 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1154 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 topontop 19553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5 cnpfcfi 20666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
653com23 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  A  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
763expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
84, 7sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
98ralrimivw 2872 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
1093ad2antl2 1159 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
113, 10jca 532 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
1211ex 434 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
13 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
14 filfbas 20474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ( fBas `  X )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  X ) )
16 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  h  e.  ( Fil `  Y ) )
17 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  F : X --> Y )
18 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h )
1915, 16, 17, 18fmfnfm 20584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
20 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g 
C_  f  /\  h  =  ( ( Y 
FilMap  F ) `  f
) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) ) )
21 flimfcls 20652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J 
fLim  f )  C_  ( J  fClus  f )
22 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
24 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
25 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
g  C_  f )
26 flimss2 20598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  C_  f )  ->  ( J  fLim  g )  C_  ( J  fLim  f ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  C_  ( J  fLim  f ) )
28 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g
) )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g ) )
3027, 29sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f ) )
3121, 30sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  f ) )
32 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
34 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  F : X --> Y )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
36 fcfval 20659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fClusf  f ) `
 F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
3733, 24, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
38 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )
3938oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( K  fClus  h )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
4037, 39eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  h ) )
4140eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) )
4331, 42embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4443expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
4544com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
4645impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4746rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( E. f  e.  ( Fil `  X
) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4820, 47syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4919, 48mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
5049expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5251ralrimdva 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
53 toponmax 19555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
5432, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  e.  K )
55 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( Fil `  X
) )
5655, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( fBas `  X
) )
57 fmfil 20570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  K  /\  g  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g )  e.  ( Fil `  Y
) )
5854, 56, 34, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  Y
) )
59 toponuni 19554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  =  U. K )
6160fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( Fil `  Y )  =  ( Fil `  U. K ) )
6258, 61eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K ) )
63 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
6463flimfnfcls 20654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
66 flfval 20616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6732, 55, 34, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6867eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) ) ) )
6961raleqdv 3060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  Y ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h ) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7065, 68, 693bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7152, 70sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) )
7271expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7372com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7473ralrimdva 2875 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7574imdistanda 693 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
76 cnpflf 20627 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
7775, 76sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
7812, 77impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   U.cuni 4251   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   fBascfbas 18532   Topctop 19520  TopOnctopon 19521    CnP ccnp 19852   Filcfil 20471    FilMap cfm 20559    fLim cflim 20560    fLimf cflf 20561    fClus cfcls 20562    fClusf cfcf 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-top 19525  df-topon 19528  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cnp 19855  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-fcls 20567  df-fcf 20568
This theorem is referenced by:  cnfcf  20668
  Copyright terms: Public domain W3C validator