MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpf2 Structured version   Unicode version

Theorem cnpf2 18854
Description: A continuous function at point  P is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem cnpf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2443 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 18851 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
4 toponuni 18532 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54feq2d 5547 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> Y ) )
6 toponuni 18532 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
7 feq3 5544 . . . . 5  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( F : U. J
--> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  ( F : U. J --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
95, 8sylan9bb 699 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
103, 9syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> Y ) )
11103impia 1184 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4091   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091  TopOnctopon 18499    CnP ccnp 18829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-map 7216  df-top 18503  df-topon 18506  df-cnp 18832
This theorem is referenced by:  iscnp4  18867  1stccnp  19066  txcnp  19193  ptcnplem  19194  ptcnp  19195  cnpflf2  19573  cnpflf  19574  flfcnp  19577  flfcnp2  19580  cnpfcf  19614  ghmcnp  19685  metcnpi3  20121  limcvallem  21346  cnplimc  21362  limccnp  21366  limccnp2  21367  ftc1lem3  21510
  Copyright terms: Public domain W3C validator