MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpf2 Structured version   Unicode version

Theorem cnpf2 19619
Description: A continuous function at point  P is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem cnpf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2467 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 19616 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
4 toponuni 19297 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54feq2d 5724 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> Y ) )
6 toponuni 19297 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
7 feq3 5721 . . . . 5  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( F : U. J
--> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  ( F : U. J --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
95, 8sylan9bb 699 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
103, 9syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> Y ) )
11103impia 1193 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4251   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295  TopOnctopon 19264    CnP ccnp 19594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-top 19268  df-topon 19271  df-cnp 19597
This theorem is referenced by:  iscnp4  19632  1stccnp  19831  txcnp  19989  ptcnplem  19990  ptcnp  19991  cnpflf2  20369  cnpflf  20370  flfcnp  20373  flfcnp2  20376  cnpfcf  20410  ghmcnp  20481  metcnpi3  20917  limcvallem  22143  cnplimc  22159  limccnp  22163  limccnp2  22164  ftc1lem3  22307
  Copyright terms: Public domain W3C validator