Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnpcon Structured version   Unicode version

Theorem cnpcon 27119
Description: An image of a path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpcon.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpcon  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )

Proof of Theorem cnpcon
Dummy variables  f 
g  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 18845 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43pconcn 27113 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PCon  /\  u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  u  /\  ( g ` 
1 )  =  v ) )
543expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
653ad2antl1 1150 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
7 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
8 simpll3 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
9 cnco 18870 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( II  Cn  K ) )
11 iiuni 20457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
1211, 3cnf 18850 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( II  Cn  J )  ->  g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
137, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g :
( 0 [,] 1
) --> U. J )
14 0elunit 11403 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
15 fvco3 5768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  0 )  =  ( F `  ( g `  0
) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  (
g `  0 )
) )
17 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  u )
1817fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  0
) )  =  ( F `  u ) )
1916, 18eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) )
20 1elunit 11404 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
21 fvco3 5768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  1 )  =  ( F `  ( g `  1
) ) )
2213, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  (
g `  1 )
) )
23 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  v )
2423fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  1
) )  =  ( F `  v ) )
2522, 24eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) )
26 fveq1 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
0 ) )
2726eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) ) )
28 fveq1 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
1 ) )
2928eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3027, 29anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( ( F  o.  g ) `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) ) )
3130rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( ( F  o.  g ) ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( ( F  o.  g ) ` 
1 )  =  ( F `  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3210, 19, 25, 31syl12anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
336, 32rexlimddv 2845 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3433ralrimivva 2808 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
35 cnpcon.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
363, 35cnf 18850 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
37363ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> Y )
38 forn 5623 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
39383ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F  =  Y )
40 dffo2 5624 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F : U. J --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
4137, 39, 40sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
42 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( f `  1 )  =  y ) )
4342anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4443rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4544cbvfo 5993 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. v  e. 
U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4641, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4746ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4834, 47mpbid 210 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) )
49 eqeq2 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( f `  0 )  =  x ) )
5049anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5150rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5251ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5352cbvfo 5993 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. u  e. 
U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5441, 53syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5548, 54mpbid 210 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
5635ispcon 27112 . 2  |-  ( K  e. PCon 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
572, 55, 56sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   U.cuni 4091   ran crn 4841    o. ccom 4844   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   [,]cicc 11303   Topctop 18498    Cn ccn 18828   IIcii 20451  PConcpcon 27108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-icc 11307  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cn 18831  df-ii 20453  df-pcon 27110
This theorem is referenced by:  qtoppcon  27125
  Copyright terms: Public domain W3C validator