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Theorem cnpcon 28301
Description: An image of a path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpcon.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpcon  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )

Proof of Theorem cnpcon
Dummy variables  f 
g  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 19501 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1014 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43pconcn 28295 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PCon  /\  u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  u  /\  ( g ` 
1 )  =  v ) )
543expb 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
653ad2antl1 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
7 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
8 simpll3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
9 cnco 19526 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( II  Cn  K ) )
11 iiuni 21113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
1211, 3cnf 19506 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( II  Cn  J )  ->  g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
137, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g :
( 0 [,] 1
) --> U. J )
14 0elunit 11627 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
15 fvco3 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  0 )  =  ( F `  ( g `  0
) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  (
g `  0 )
) )
17 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  u )
1817fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  0
) )  =  ( F `  u ) )
1916, 18eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) )
20 1elunit 11628 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
21 fvco3 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  1 )  =  ( F `  ( g `  1
) ) )
2213, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  (
g `  1 )
) )
23 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  v )
2423fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  1
) )  =  ( F `  v ) )
2522, 24eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) )
26 fveq1 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
0 ) )
2726eqeq1d 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) ) )
28 fveq1 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
1 ) )
2928eqeq1d 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3027, 29anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( ( F  o.  g ) `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) ) )
3130rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( ( F  o.  g ) ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( ( F  o.  g ) ` 
1 )  =  ( F `  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3210, 19, 25, 31syl12anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
336, 32rexlimddv 2952 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3433ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
35 cnpcon.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
363, 35cnf 19506 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
37363ad2ant3 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> Y )
38 forn 5789 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
39383ad2ant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F  =  Y )
40 dffo2 5790 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F : U. J --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
4137, 39, 40sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
42 eqeq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( f `  1 )  =  y ) )
4342anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4443rexbidv 2966 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4544cbvfo 6171 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. v  e. 
U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4641, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4746ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4834, 47mpbid 210 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) )
49 eqeq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( f `  0 )  =  x ) )
5049anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5150rexbidv 2966 . . . . . 6  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5251ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5352cbvfo 6171 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. u  e. 
U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5441, 53syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5548, 54mpbid 210 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
5635ispcon 28294 . 2  |-  ( K  e. PCon 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
572, 55, 56sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   U.cuni 4238   ran crn 4993    o. ccom 4996   -->wf 5575   -onto->wfo 5577   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482   [,]cicc 11521   Topctop 19154    Cn ccn 19484   IIcii 21107  PConcpcon 28290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487  df-ii 21109  df-pcon 28292
This theorem is referenced by:  qtoppcon  28307
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