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Theorem cnpcon 30025
Description: An image of a path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpcon.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpcon  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )

Proof of Theorem cnpcon
Dummy variables  f 
g  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 20334 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1053 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43pconcn 30019 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PCon  /\  u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  u  /\  ( g ` 
1 )  =  v ) )
543expb 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
653ad2antl1 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
7 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
8 simpll3 1071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
9 cnco 20359 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
107, 8, 9syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( II  Cn  K ) )
11 iiuni 21991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
1211, 3cnf 20339 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( II  Cn  J )  ->  g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
137, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g :
( 0 [,] 1
) --> U. J )
14 0elunit 11776 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
15 fvco3 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  0 )  =  ( F `  ( g `  0
) ) )
1613, 14, 15sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  (
g `  0 )
) )
17 simprrl 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  u )
1817fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  0
) )  =  ( F `  u ) )
1916, 18eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) )
20 1elunit 11777 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
21 fvco3 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  1 )  =  ( F `  ( g `  1
) ) )
2213, 20, 21sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  (
g `  1 )
) )
23 simprrr 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  v )
2423fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  1
) )  =  ( F `  v ) )
2522, 24eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) )
26 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
0 ) )
2726eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) ) )
28 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
1 ) )
2928eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3027, 29anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( ( F  o.  g ) `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) ) )
3130rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( ( F  o.  g ) ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( ( F  o.  g ) ` 
1 )  =  ( F `  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3210, 19, 25, 31syl12anc 1290 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
336, 32rexlimddv 2875 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3433ralrimivva 2814 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
35 cnpcon.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
363, 35cnf 20339 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
37363ad2ant3 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> Y )
38 forn 5809 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
39383ad2ant2 1052 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F  =  Y )
40 dffo2 5810 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F : U. J --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
4137, 39, 40sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
42 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( f `  1 )  =  y ) )
4342anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4443rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4544cbvfo 6205 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. v  e. 
U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4641, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4746ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4834, 47mpbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) )
49 eqeq2 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( f `  0 )  =  x ) )
5049anbi1d 719 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5150rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5251ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5352cbvfo 6205 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. u  e. 
U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5441, 53syl 17 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5548, 54mpbid 215 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
5635ispcon 30018 . 2  |-  ( K  e. PCon 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
572, 55, 56sylanbrc 677 1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   U.cuni 4190   ran crn 4840    o. ccom 4843   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   [,]cicc 11663   Topctop 19994    Cn ccn 20317   IIcii 21985  PConcpcon 30014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-ii 21987  df-pcon 30016
This theorem is referenced by:  qtoppcon  30031
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