Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpco Structured version   Unicode version

Theorem cnpco 20214
 Description: The composition of two continuous functions at point is a continuous function at point . Proposition of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnpco

Proof of Theorem cnpco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 20189 . . . 4
3 cnptop2 20190 . . . 4
5 eqid 2429 . . . . 5
65cnprcl 20192 . . . 4
82, 4, 73jca 1185 . 2
9 eqid 2429 . . . . . 6
10 eqid 2429 . . . . . 6
119, 10cnpf 20194 . . . . 5
1211adantl 467 . . . 4
135, 9cnpf 20194 . . . . 5
1413adantr 466 . . . 4
15 fco 5756 . . . 4
1612, 14, 15syl2anc 665 . . 3
17 simplr 760 . . . . . . 7
18 simprl 762 . . . . . . 7
19 fvco3 5958 . . . . . . . . . 10
2014, 7, 19syl2anc 665 . . . . . . . . 9
2120adantr 466 . . . . . . . 8
22 simprr 764 . . . . . . . 8
2321, 22eqeltrrd 2518 . . . . . . 7
24 cnpimaex 20203 . . . . . . 7
2517, 18, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . 6
26 simplll 766 . . . . . . . 8
27 simprl 762 . . . . . . . 8
28 simprrl 772 . . . . . . . 8
29 cnpimaex 20203 . . . . . . . 8
3026, 27, 28, 29syl3anc 1264 . . . . . . 7
31 imaco 5360 . . . . . . . . . . 11
32 imass2 5224 . . . . . . . . . . 11
3331, 32syl5eqss 3514 . . . . . . . . . 10
34 simprrr 773 . . . . . . . . . . 11
35 sstr2 3477 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl5com 31 . . . . . . . . . 10
3733, 36syl5 33 . . . . . . . . 9
3837anim2d 567 . . . . . . . 8
3938reximdv 2906 . . . . . . 7
4030, 39mpd 15 . . . . . 6
4125, 40rexlimddv 2928 . . . . 5
4241expr 618 . . . 4
4342ralrimiva 2846 . . 3
4416, 43jca 534 . 2
455, 10iscnp2 20186 . 2
468, 44, 45sylanbrc 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783   wss 3442  cuni 4222  cima 4857   ccom 4858  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  ctop 19848   ccnp 20172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7482  df-top 19852  df-topon 19854  df-cnp 20175 This theorem is referenced by:  limccnp  22723  limccnp2  22724  efrlim  23760
 Copyright terms: Public domain W3C validator