Theorem cnpco 9046

Description: The composition of two continuous functions at point P is a continuous function at point P. Bourbaki TG I.9. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.) Warning: The HTML proof page is 0.5MB in size.

Hypothesis

Ref	Expression
cnpco.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cnpco	|- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (G o. F) e. ((J CnP L)` P))

Proof of Theorem cnpco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpco.1	. . . 4 |- X = U.J
2		eqid 1884	. . . 4 |- U.L = U.L
3	1, 2	iscnp 9036	. . 3 |- ((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) -> ((G o. F) e. ((J CnP L)` P) <-> ((G o. F):X-->U.L /\ A.z e. L (((G o. F)` P) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z)))))
4	3	adantr 425	. 2 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> ((G o. F) e. ((J CnP L)` P) <-> ((G o. F):X-->U.L /\ A.z e. L (((G o. F)` P) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z)))))
5		simpr1 882	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> K e. Top)
6		simpl2 880	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> L e. Top)
7	1	eleq2i 1961	. . . . . . . . . 10 |- (P e. X <-> P e. U.J)
8		pm3.2 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P))))
9	8	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (J e. Top -> (K e. Top -> (P e. U.J -> (F e. ((J CnP K)` P) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
10	9	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (J e. Top -> (K e. Top -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (P e. U.J -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
11	10	com13 37	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F e. ((J CnP K)` P) -> (K e. Top -> (J e. Top -> (P e. U.J -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
12	11	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G e. ((K CnP L)` (F` P)) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (K e. Top -> (J e. Top -> (P e. U.J -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))))
13	12	com13 37	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. Top -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (G e. ((K CnP L)` (F` P)) -> (J e. Top -> (P e. U.J -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))))
14	13	3imp 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> (J e. Top -> (P e. U.J -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))
15	14	com13 37	. . . . . . . . . 10 |- (P e. U.J -> (J e. Top -> ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))
16	7, 15	sylbi 216	. . . . . . . . 9 |- (P e. X -> (J e. Top -> ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))
17	16	com12 14	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (P e. X -> ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))
18	17	a1d 15	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (L e. Top -> (P e. X -> ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
19	18	3imp1 1081	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)))
20		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.J = U.J
21		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.K = U.K
22	20, 21	cnpf 9039	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:U.J-->U.K)
23	19, 22	syl 12	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> F:U.J-->U.K)
24		simp3 878	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) -> P e. X)
25	24, 1	syl6eleq 1981	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) -> P e. U.J)
26	25	adantr 425	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> P e. U.J)
27		ffvelrn 4787	. . . . 5 |- ((F:U.J-->U.K /\ P e. U.J) -> (F` P) e. U.K)
28	23, 26, 27	syl11anc 524	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (F` P) e. U.K)
29		simpr3 884	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> G e. ((K CnP L)` (F` P)))
30	21, 2	cnpf 9039	. . . 4 |- (((K e. Top /\ L e. Top /\ (F` P) e. U.K) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> G:U.K-->U.L)
31	5, 6, 28, 29, 30	syl31anc 1103	. . 3 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> G:U.K-->U.L)
32		pm3.2 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P))))
33	32	3exp 1066	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> (K e. Top -> (P e. X -> (F e. ((J CnP K)` P) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
34	33	com14 42	. . . . . . . . . 10 |- (F e. ((J CnP K)` P) -> (K e. Top -> (P e. X -> (J e. Top -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
35	34	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (G e. ((K CnP L)` (F` P)) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (K e. Top -> (P e. X -> (J e. Top -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))))
36	35	com13 37	. . . . . . . 8 |- (K e. Top -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (G e. ((K CnP L)` (F` P)) -> (P e. X -> (J e. Top -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))))
37	36	3imp 1061	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> (P e. X -> (J e. Top -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))
38	37	com13 37	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (P e. X -> ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)))))
39	38	a1d 15	. . . . 5 |- (J e. Top -> (L e. Top -> (P e. X -> ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P))))))
40	39	3imp1 1081	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)))
41	1, 21	cnpf 9039	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:X-->U.K)
42	40, 41	syl 12	. . 3 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> F:X-->U.K)
43		fco 4573	. . 3 |- ((G:U.K-->U.L /\ F:X-->U.K) -> (G o. F):X-->U.L)
44	31, 42, 43	syl11anc 524	. 2 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (G o. F):X-->U.L)
45	5	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> K e. Top)
46	6	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> L e. Top)
47		simpl1 879	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> J e. Top)
48	47	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> J e. Top)
49		simpl3 881	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> P e. X)
50	49	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> P e. X)
51	50, 1	syl6eleq 1981	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> P e. U.J)
52		simplr2 919	. . . . . . . . . . 11 |- ((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) -> F e. ((J CnP K)` P))
53	52	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> F e. ((J CnP K)` P))
54	48, 45, 51, 53, 22	syl31anc 1103	. . . . . . . . 9 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> F:U.J-->U.K)
55	54, 51, 27	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> (F` P) e. U.K)
56	29	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> G e. ((K CnP L)` (F` P)))
57		simplr 449	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> z e. L)
58		simpr 350	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> (G` (F` P)) e. z)
59	21	cnpimaex 9041	. . . . . . . 8 |- (((K e. Top /\ L e. Top /\ (F` P) e. U.K) /\ (G e. ((K CnP L)` (F` P)) /\ z e. L /\ (G` (F` P)) e. z)) -> E.y e. K ((F` P) e. y /\ (G"y) C_ z))
60	45, 46, 55, 56, 57, 58, 59	syl33anc 1115	. . . . . . 7 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> E.y e. K ((F` P) e. y /\ (G"y) C_ z))
61	48	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> J e. Top)
62	45	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> K e. Top)
63	50	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> P e. X)
64	53	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> F e. ((J CnP K)` P))
65		simplr 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> y e. K)
66		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> (F` P) e. y)
67	1	cnpimaex 9041	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ y e. K /\ (F` P) e. y)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))
68	61, 62, 63, 64, 65, 66, 67	syl33anc 1115	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) /\ (F` P) e. y) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))
69	68	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) -> ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))
70	69	anim1d 619	. . . . . . . . . 10 |- ((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) -> (((F` P) e. y /\ (G"y) C_ z) -> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y) /\ (G"y) C_ z)))
71		r19.41v 2236	. . . . . . . . . 10 |- (E.x e. J ((P e. x /\ (F"x) C_ y) /\ (G"y) C_ z) <-> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y) /\ (G"y) C_ z))
72	70, 71	syl6ibr 230	. . . . . . . . 9 |- ((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) -> (((F` P) e. y /\ (G"y) C_ z) -> E.x e. J ((P e. x /\ (F"x) C_ y) /\ (G"y) C_ z)))
73		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((G"(F"x)) C_ (G"y) /\ (G"y) C_ z) -> (G"(F"x)) C_ z)
74		imass2 4299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F"x) C_ y -> (G"(F"x)) C_ (G"y))
75	73, 74	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F"x) C_ y /\ (G"y) C_ z) -> (G"(F"x)) C_ z)
76	75	anim2i 362	. . . . . . . . . . 11 |- ((P e. x /\ ((F"x) C_ y /\ (G"y) C_ z)) -> (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z))
77	76	anassrs 489	. . . . . . . . . 10 |- (((P e. x /\ (F"x) C_ y) /\ (G"y) C_ z) -> (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z))
78	77	reximi 2198	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. J ((P e. x /\ (F"x) C_ y) /\ (G"y) C_ z) -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z))
79	72, 78	syl6 25	. . . . . . . 8 |- ((((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) /\ y e. K) -> (((F` P) e. y /\ (G"y) C_ z) -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)))
80	79	reximdva 2203	. . . . . . 7 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> (E.y e. K ((F` P) e. y /\ (G"y) C_ z) -> E.y e. K E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)))
81	60, 80	mpd 29	. . . . . 6 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> E.y e. K E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z))
82		0opn 8870	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. Top -> (/) e. K)
83		ne0i 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ((/) e. K -> K =/= (/))
84	82, 83	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (K e. Top -> K =/= (/))
85	84	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- ((K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))) -> K =/= (/))
86	85	adantl 424	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> K =/= (/))
87	86	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> K =/= (/))
88		r19.9rzv 2963	. . . . . . 7 |- (K =/= (/) -> (E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z) <-> E.y e. K E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)))
89	87, 88	syl 12	. . . . . 6 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> (E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z) <-> E.y e. K E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)))
90	81, 89	mpbird 213	. . . . 5 |- (((((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) /\ z e. L) /\ (G` (F` P)) e. z) -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z))
91	90	exp31 407	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (z e. L -> ((G` (F` P)) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z))))
92	91	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> A.z e. L ((G` (F` P)) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)))
93	5, 6, 28	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (K e. Top /\ L e. Top /\ (F` P) e. U.K))
94	93, 29	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> ((K e. Top /\ L e. Top /\ (F` P) e. U.K) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P))))
95		ffun 4565	. . . . . . . . 9 |- (G:U.K-->U.L -> Fun G)
96	94, 30, 95	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> Fun G)
97		ffun 4565	. . . . . . . . 9 |- (F:X-->U.K -> Fun F)
98	40, 41, 97	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> Fun F)
99		fdm 4567	. . . . . . . . . . 11 |- (F:X-->U.K -> dom F = X)
100	99	eqcomd 1889	. . . . . . . . . 10 |- (F:X-->U.K -> X = dom F)
101	40, 41, 100	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> X = dom F)
102	49, 101	eleqtrd 1973	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> P e. dom F)
103	96, 98, 102	3jca 1050	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (Fun G /\ Fun F /\ P e. dom F))
104		fvco 4736	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ Fun F /\ P e. dom F) -> ((G o. F)` P) = (G` (F` P)))
105		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (((G o. F)` P) = (G` (F` P)) -> (((G o. F)` P) e. z <-> (G` (F` P)) e. z))
106	103, 104, 105	3syl 24	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (((G o. F)` P) e. z <-> (G` (F` P)) e. z))
107	106	biimpd 170	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (((G o. F)` P) e. z -> (G` (F` P)) e. z))
108		imaco 4403	. . . . . . . . . . 11 |- ((G o. F)"x) = (G"(F"x))
109	108	eqcomi 1888	. . . . . . . . . 10 |- (G"(F"x)) = ((G o. F)"x)
110	109	sseq1i 2641	. . . . . . . . 9 |- ((G"(F"x)) C_ z <-> ((G o. F)"x) C_ z)
111	110	biimpi 168	. . . . . . . 8 |- ((G"(F"x)) C_ z -> ((G o. F)"x) C_ z)
112	111	a1i 8	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> ((G"(F"x)) C_ z -> ((G o. F)"x) C_ z))
113	112	anim2d 620	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> ((P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z) -> (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z)))
114	113	reximdv 2202	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z) -> E.x e. J (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z)))
115	107, 114	imim12d 69	. . . 4 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (((G` (F` P)) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)) -> (((G o. F)` P) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z))))
116	115	ralimdv 2172	. . 3 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (A.z e. L ((G` (F` P)) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ (G"(F"x)) C_ z)) -> A.z e. L (((G o. F)` P) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z))))
117	92, 116	mpd 29	. 2 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> A.z e. L (((G o. F)` P) e. z -> E.x e. J (P e. x /\ ((G o. F)"x) C_ z)))
118	4, 44, 117	mpbir2and 802	1 |- (((J e. Top /\ L e. Top /\ P e. X) /\ (K e. Top /\ F e. ((J CnP K)` P) /\ G e. ((K CnP L)` (F` P)))) -> (G o. F) e. ((J CnP L)` P))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  dom cdm 3986  "cima 3989   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   CnP ccnp 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-cnp 9031

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