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Theorem cnpco 19562
Description: The composition of two continuous functions at point  P is a continuous function at point 
P. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnpco  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P ) )

Proof of Theorem cnpco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 19537 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  J  e.  Top )
3 cnptop2 19538 . . . 4  |-  ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) )  ->  L  e.  Top )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  L  e.  Top )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65cnprcl 19540 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  P  e.  U. J )
82, 4, 73jca 1176 . 2  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  P  e. 
U. J ) )
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. L  =  U. L
119, 10cnpf 19542 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) )  ->  G : U. K --> U. L )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  G : U. K --> U. L
)
135, 9cnpf 19542 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
15 fco 5741 . . . 4  |-  ( ( G : U. K --> U. L  /\  F : U. J --> U. K )  -> 
( G  o.  F
) : U. J --> U. L )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : U. J --> U. L
)
17 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )
18 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
z  e.  L )
19 fvco3 5944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  P  e. 
U. J )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
2014, 7, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  P )  =  ( G `  ( F `  P ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
22 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z )
2321, 22eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( G `  ( F `  P )
)  e.  z )
24 cnpimaex 19551 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 ( F `  P ) )  /\  z  e.  L  /\  ( G `  ( F `
 P ) )  e.  z )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
2517, 18, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
26 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
27 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
y  e.  K )
28 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( F `  P
)  e.  y )
29 cnpimaex 19551 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
31 imaco 5512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  o.  F )
" x )  =  ( G " ( F " x ) )
32 imass2 5372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( G " ( F "
x ) )  C_  ( G " y ) )
3331, 32syl5eqss 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y ) )
34 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( G " y
)  C_  z )
35 sstr2 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y )  ->  (
( G " y
)  C_  z  ->  ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) )
3634, 35syl5com 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) "
x )  C_  ( G " y )  -> 
( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
3733, 36syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
3837anim2d 565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) )
3938reximdv 2937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4030, 39mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4125, 40rexlimddv 2959 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4241expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  z  e.  L
)  ->  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4342ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4416, 43jca 532 . 2  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) : U. J --> U. L  /\  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) ) )
455, 10iscnp2 19534 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  P  e. 
U. J )  /\  ( ( G  o.  F ) : U. J
--> U. L  /\  A. z  e.  L  (
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) ) ) )
468, 44, 45sylanbrc 664 1  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   U.cuni 4245   "cima 5002    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Topctop 19189    CnP ccnp 19520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-top 19194  df-topon 19197  df-cnp 19523
This theorem is referenced by:  limccnp  22058  limccnp2  22059  efrlim  23055
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