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Theorem cnpco 17285
Description: The composition of two continuous functions at point  P is a continuous function at point 
P. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnpco  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P ) )

Proof of Theorem cnpco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 17260 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  J  e.  Top )
3 cnptop2 17261 . . . 4  |-  ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) )  ->  L  e.  Top )
43adantl 453 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  L  e.  Top )
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65cnprcl 17263 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  P  e.  U. J )
82, 4, 73jca 1134 . 2  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  P  e. 
U. J ) )
9 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
10 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. L  =  U. L
119, 10cnpf 17265 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) )  ->  G : U. K --> U. L )
1211adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  G : U. K --> U. L
)
135, 9cnpf 17265 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
15 fco 5559 . . . 4  |-  ( ( G : U. K --> U. L  /\  F : U. J --> U. K )  -> 
( G  o.  F
) : U. J --> U. L )
1612, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : U. J --> U. L
)
17 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )
18 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
z  e.  L )
19 fvco3 5759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  P  e. 
U. J )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
2014, 7, 19syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  P )  =  ( G `  ( F `  P ) ) )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
22 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z )
2321, 22eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( G `  ( F `  P )
)  e.  z )
24 cnpimaex 17274 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 ( F `  P ) )  /\  z  e.  L  /\  ( G `  ( F `
 P ) )  e.  z )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
2517, 18, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
26 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
27 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
y  e.  K )
28 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( F `  P
)  e.  y )
29 cnpimaex 17274 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
31 imaco 5334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  o.  F )
" x )  =  ( G " ( F " x ) )
32 imass2 5199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( G " ( F "
x ) )  C_  ( G " y ) )
3331, 32syl5eqss 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y ) )
34 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( G " y
)  C_  z )
35 sstr2 3315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y )  ->  (
( G " y
)  C_  z  ->  ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) )
3634, 35syl5com 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) "
x )  C_  ( G " y )  -> 
( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
3733, 36syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
3837anim2d 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) )
3938reximdv 2777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4030, 39mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4125, 40rexlimddv 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4241expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  z  e.  L
)  ->  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4342ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4416, 43jca 519 . 2  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) : U. J --> U. L  /\  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) ) )
455, 10iscnp2 17257 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  P  e. 
U. J )  /\  ( ( G  o.  F ) : U. J
--> U. L  /\  A. z  e.  L  (
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) ) ) )
468, 44, 45sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   U.cuni 3975   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Topctop 16913    CnP ccnp 17243
This theorem is referenced by:  limccnp  19731  limccnp2  19732  efrlim  20761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-top 16918  df-topon 16921  df-cnp 17246
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