Theorem cnnvnm 25785

Description: The norm operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvnm.6	|- U = <. <. + , x. >. , abs >.

Assertion

Ref	Expression
cnnvnm	|- abs = ( normCV ` U )

Proof of Theorem cnnvnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
2	1	nmcvfval 25698	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( 2nd ` U )
3		cnnvnm.6	. . 3 |- U = <. <. + , x. >. , abs >.
4	3	fveq2i 5851	. 2 |- ( 2nd ` U ) = ( 2nd ` <. <. + , x. >. , abs >. )
5		opex 4701	. . 3 |- <. + , x. >. e. _V
6		absf 13252	. . . 4 |- abs : CC --> RR
7		cnex 9562	. . . 4 |- CC e. _V
8		fex 6120	. . . 4 |- ( ( abs : CC --> RR /\ CC e. _V ) -> abs e. _V )
9	6, 7, 8	mp2an 670	. . 3 |- abs e. _V
10	5, 9	op2nd 6782	. 2 |- ( 2nd ` <. <. + , x. >. , abs >. ) = abs
11	2, 4, 10	3eqtrri 2488	1 |- abs = ( normCV ` U )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   <.cop 4022   -->wf 5566   ` cfv 5570   2ndc2nd 6772   CCcc 9479   RRcr 9480   + caddc 9484   x. cmul 9486   abscabs 13149   norm_CVcnmcv 25681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-nmcv 25691

This theorem is referenced by:  cnims  25801  ipblnfi  25969  htthlem  26032