Theorem cnnvnm 24217

Description: The norm operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvnm.6	|- U = <. <. + , x. >. , abs >.

Assertion

Ref	Expression
cnnvnm	|- abs = ( normCV ` U )

Proof of Theorem cnnvnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . 3 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
2	1	nmcvfval 24130	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( 2nd ` U )
3		cnnvnm.6	. . 3 |- U = <. <. + , x. >. , abs >.
4	3	fveq2i 5795	. 2 |- ( 2nd ` U ) = ( 2nd ` <. <. + , x. >. , abs >. )
5		opex 4657	. . 3 |- <. + , x. >. e. _V
6		absf 12936	. . . 4 |- abs : CC --> RR
7		cnex 9467	. . . 4 |- CC e. _V
8		fex 6052	. . . 4 |- ( ( abs : CC --> RR /\ CC e. _V ) -> abs e. _V )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . 3 |- abs e. _V
10	5, 9	op2nd 6689	. 2 |- ( 2nd ` <. <. + , x. >. , abs >. ) = abs
11	2, 4, 10	3eqtrri 2485	1 |- abs = ( normCV ` U )

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3071   <.cop 3984   -->wf 5515   ` cfv 5519   2ndc2nd 6679   CCcc 9384   RRcr 9385   + caddc 9389   x. cmul 9391   abscabs 12834   norm_CVcnmcv 24113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-nmcv 24123

This theorem is referenced by:  cnims  24233  ipblnfi  24401  htthlem  24464