Theorem cnnvm 9645

Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers.

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvm.6	|- U = <.<. + , x. >., abs>.

Assertion

Ref	Expression
cnnvm	|- - = (-v` U)

Proof of Theorem cnnvm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1 6638	. . . . . . . 8 |- (y e. CC -> (-u1 x. y) = -uy)
2	1	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (-u1 x. y) = -uy)
3	2	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + (-u1 x. y)) = (x + -uy))
4		negsub 6540	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + -uy) = (x - y))
5	3, 4	eqtr2d 1926	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x - y) = (x + (-u1 x. y)))
6	5	eqeq2d 1895	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (z = (x - y) <-> z = (x + (-u1 x. y))))
7	6	pm5.32i 707	. . 3 |- (((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x - y)) <-> ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x + (-u1 x. y))))
8	7	oprabbii 4923	. 2 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x - y))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x + (-u1 x. y)))}
9		subopr 6527	. . . 4 |- - :(CC X. CC)-->CC
10		ffn 4562	. . . 4 |- ( - :(CC X. CC)-->CC -> - Fn (CC X. CC))
11	9, 10	ax-mp 7	. . 3 |- - Fn (CC X. CC)
12		fnoprv 4946	. . 3 |- ( - Fn (CC X. CC) <-> - = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x - y))})
13	11, 12	mpbi 206	. 2 |- - = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x - y))}
14		cnnvm.6	. . . 4 |- U = <.<. + , x. >., abs>.
15	14	cnnv 9639	. . 3 |- U e. NrmCVec
16	14	cnnvba 9641	. . . 4 |- CC = (BaseSet` U)
17	14	cnnvg 9640	. . . 4 |- + = (+v` U)
18	14	cnnvs 9643	. . . 4 |- x. = (.s` U)
19		eqid 1884	. . . 4 |- (-v` U) = (-v` U)
20	16, 17, 18, 19	nvmfval 9596	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (-v` U) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x + (-u1 x. y)))})
21	15, 20	ax-mp 7	. 2 |- (-v` U) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ z = (x + (-u1 x. y)))}
22	8, 13, 21	3eqtr4i 1921	1 |- - = (-v` U)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  -vcnsb 9540

This theorem is referenced by:  cnims 9666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain