MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Structured version   Unicode version

Theorem cnnvm 25786
Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnvm  |-  -  =  ( -v `  U )

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 9994 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
21adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
32oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  +  -u y
) )
4 negsub 9858 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
53, 4eqtr2d 2496 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) )
65mpt2eq3ia 6335 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u 1  x.  y
) ) )
7 subf 9813 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
8 ffn 5713 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
10 fnov 6383 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
119, 10mpbi 208 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
12 cnnvm.6 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
1312cnnv 25780 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
1412cnnvba 25782 . . . 4  |-  CC  =  ( BaseSet `  U )
1512cnnvg 25781 . . . 4  |-  +  =  ( +v `  U )
1612cnnvs 25784 . . . 4  |-  x.  =  ( .sOLD `  U
)
17 eqid 2454 . . . 4  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
1814, 15, 16, 17nvmfval 25737 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( -v `  U )  =  ( x  e.  CC , 
y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) )
1913, 18ax-mp 5 . 2  |-  ( -v
`  U )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) )
206, 11, 193eqtr4i 2493 1  |-  -  =  ( -v `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022    X. cxp 4986    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797   abscabs 13149   NrmCVeccnv 25675   -vcnsb 25680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691
This theorem is referenced by:  cnims  25801
  Copyright terms: Public domain W3C validator