MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Structured version   Unicode version

Theorem cnnvm 24218
Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnvm  |-  -  =  ( -v `  U )

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 9890 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
32oveq2d 6209 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  +  -u y
) )
4 negsub 9761 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
53, 4eqtr2d 2493 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) )
65mpt2eq3ia 6253 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u 1  x.  y
) ) )
7 subf 9716 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
8 ffn 5660 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
10 fnov 6301 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
119, 10mpbi 208 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
12 cnnvm.6 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
1312cnnv 24212 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
1412cnnvba 24214 . . . 4  |-  CC  =  ( BaseSet `  U )
1512cnnvg 24213 . . . 4  |-  +  =  ( +v `  U )
1612cnnvs 24216 . . . 4  |-  x.  =  ( .sOLD `  U
)
17 eqid 2451 . . . 4  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
1814, 15, 16, 17nvmfval 24169 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( -v `  U )  =  ( x  e.  CC , 
y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) )
1913, 18ax-mp 5 . 2  |-  ( -v
`  U )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) )
206, 11, 193eqtr4i 2490 1  |-  -  =  ( -v `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3984    X. cxp 4939    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   CCcc 9384   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391    - cmin 9699   -ucneg 9700   abscabs 12834   NrmCVeccnv 24107   -vcnsb 24112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-grpo 23823  df-gid 23824  df-ginv 23825  df-gdiv 23826  df-ablo 23914  df-vc 24069  df-nv 24115  df-va 24118  df-ba 24119  df-sm 24120  df-0v 24121  df-vs 24122  df-nmcv 24123
This theorem is referenced by:  cnims  24233
  Copyright terms: Public domain W3C validator