MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvg Structured version   Unicode version

Theorem cnnvg 24203
Description: The vector addition (group) operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvg.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnvg  |-  +  =  ( +v `  U )

Proof of Theorem cnnvg
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
21vafval 24116 . 2  |-  ( +v
`  U )  =  ( 1st `  ( 1st `  U ) )
3 cnnvg.6 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
43fveq2i 5792 . . . 4  |-  ( 1st `  U )  =  ( 1st `  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
5 opex 4654 . . . . 5  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  _V
6 absf 12927 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
7 cnex 9464 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
8 fex 6049 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . 5  |-  abs  e.  _V
105, 9op1st 6685 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  =  <.  +  ,  x.  >.
114, 10eqtri 2480 . . 3  |-  ( 1st `  U )  =  <.  +  ,  x.  >.
1211fveq2i 5792 . 2  |-  ( 1st `  ( 1st `  U
) )  =  ( 1st `  <.  +  ,  x.  >. )
13 addex 11090 . . 3  |-  +  e.  _V
14 mulex 11091 . . 3  |-  x.  e.  _V
1513, 14op1st 6685 . 2  |-  ( 1st `  <.  +  ,  x.  >. )  =  +
162, 12, 153eqtrri 2485 1  |-  +  =  ( +v `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   <.cop 3981   -->wf 5512   ` cfv 5516   1stc1st 6675   CCcc 9381   RRcr 9382    + caddc 9386    x. cmul 9388   abscabs 12825   +vcpv 24098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-va 24108
This theorem is referenced by:  cnnvba  24204  cnnvdemo  24205  cnnvm  24208  ipblnfi  24391
  Copyright terms: Public domain W3C validator