MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvba Structured version   Unicode version

Theorem cnnvba 26296
Description: The base set of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvba.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnvba  |-  CC  =  ( BaseSet `  U )

Proof of Theorem cnnvba
StepHypRef Expression
1 cnnvba.6 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
21cnnvg 26295 . . 3  |-  +  =  ( +v `  U )
32rneqi 5077 . 2  |-  ran  +  =  ran  ( +v `  U )
4 cnaddablo 26064 . . . 4  |-  +  e.  AbelOp
5 ablogrpo 25998 . . . 4  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  +  e.  GrpOp
7 ax-addf 9619 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
87fdmi 5748 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
96, 8grporn 25926 . 2  |-  CC  =  ran  +
10 eqid 2422 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
11 eqid 2422 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
1210, 11bafval 26209 . 2  |-  ( BaseSet `  U )  =  ran  ( +v `  U )
133, 9, 123eqtr4i 2461 1  |-  CC  =  ( BaseSet `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868   <.cop 4002    X. cxp 4848   ran crn 4851   ` cfv 5598   CCcc 9538    + caddc 9543    x. cmul 9545   abscabs 13286   GrpOpcgr 25900   AbelOpcablo 25995   +vcpv 26190   BaseSetcba 26191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-grpo 25905  df-ablo 25996  df-va 26200  df-ba 26201
This theorem is referenced by:  cnnvdemo  26297  cnnvm  26300  ipblnfi  26483  cnbn  26497  htthlem  26556
  Copyright terms: Public domain W3C validator