MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnv Structured version   Unicode version

Theorem cnnv 24065
Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is  +, the scalar product is  x., and the norm function is  abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnv.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem cnnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 23835 . . . 4  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 23769 . . . 4  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 9359 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5562 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 23697 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 23836 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 cncvc 23959 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVecOLD
9 absf 12823 . 2  |-  abs : CC
--> RR
10 abs00 12776 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
1110biimpa 484 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  0 )  ->  x  =  0 )
12 absmul 12781 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( abs `  x
) ) )
13 abstri 12816 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
14 cnnv.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
156, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14isnvi 23989 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3881    X. cxp 4836   ` cfv 5416   CCcc 9278   0cc0 9280    + caddc 9283    x. cmul 9285   abscabs 12721   GrpOpcgr 23671   AbelOpcablo 23766   NrmCVeccnv 23960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ablo 23767  df-vc 23922  df-nv 23968
This theorem is referenced by:  cnnvdemo  24068  cnnvm  24071  elimnvu  24073  cnims  24086  cncph  24217  ipblnfi  24254  cnbn  24268  htthlem  24317
  Copyright terms: Public domain W3C validator