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Theorem cnnei 18727
Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnnei.x  |-  X  = 
U. J
cnnei.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnnei  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Distinct variable groups:    v, p, w, F    J, p, v, w    K, p, v, w    X, p, v, w    Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei
StepHypRef Expression
1 cnnei.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21toptopon 18379 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnnei.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
43toptopon 18379 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
52, 4anbi12i 690 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  <->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
6 cncnp 18725 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) ) )
76baibd 893 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
85, 7sylanb 469 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
95anbi1i 688 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  <-> 
( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y ) )
10 iscnp4 18708 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
11103expa 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
1211baibd 893 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  p  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1312an32s 795 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
149, 13sylanb 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X
--> Y )  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1514ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
168, 15bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
17163impa 1175 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3316   {csn 3865   U.cuni 4079   "cima 4830   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Topctop 18339  TopOnctopon 18340   neicnei 18542    Cn ccn 18669    CnP ccnp 18670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-map 7204  df-topgen 14364  df-top 18344  df-topon 18347  df-ntr 18465  df-nei 18543  df-cn 18672  df-cnp 18673
This theorem is referenced by:  cnextcn  19480  cnextfres  19481
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