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Theorem cnnei 19004
Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnnei.x  |-  X  = 
U. J
cnnei.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnnei  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Distinct variable groups:    v, p, w, F    J, p, v, w    K, p, v, w    X, p, v, w    Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei
StepHypRef Expression
1 cnnei.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21toptopon 18656 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnnei.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
43toptopon 18656 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
52, 4anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  <->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
6 cncnp 19002 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) ) )
76baibd 900 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
85, 7sylanb 472 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
95anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  <-> 
( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y ) )
10 iscnp4 18985 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
11103expa 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
1211baibd 900 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  p  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1312an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
149, 13sylanb 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X
--> Y )  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1514ralbidva 2836 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
168, 15bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
17163impa 1183 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3428   {csn 3977   U.cuni 4191   "cima 4943   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Topctop 18616  TopOnctopon 18617   neicnei 18819    Cn ccn 18946    CnP ccnp 18947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-map 7318  df-topgen 14486  df-top 18621  df-topon 18624  df-ntr 18742  df-nei 18820  df-cn 18949  df-cnp 18950
This theorem is referenced by:  cnextcn  19757  cnextfres  19758
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