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Theorem cnnei 20076
Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnnei.x  |-  X  = 
U. J
cnnei.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnnei  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Distinct variable groups:    v, p, w, F    J, p, v, w    K, p, v, w    X, p, v, w    Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei
StepHypRef Expression
1 cnnei.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21toptopon 19726 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnnei.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
43toptopon 19726 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
52, 4anbi12i 695 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  <->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
6 cncnp 20074 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) ) )
76baibd 910 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
85, 7sylanb 470 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
95anbi1i 693 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  <-> 
( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y ) )
10 iscnp4 20057 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
11103expa 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
1211baibd 910 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  p  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1312an32s 805 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
149, 13sylanb 470 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X
--> Y )  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1514ralbidva 2840 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
168, 15bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
17163impa 1192 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   {csn 3972   U.cuni 4191   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   neicnei 19891    Cn ccn 20018    CnP ccnp 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-topgen 15058  df-top 19691  df-topon 19694  df-ntr 19813  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022
This theorem is referenced by:  cnextcn  20859  cnextfres  20860
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