Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Unicode version

Theorem cnmsubglem 18956
 Description: Lemma for rpmsubg 18957 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m mulGrpflds
cnmsubglem.1
cnmsubglem.2
cnmsubglem.3
cnmsubglem.4
cnmsubglem.5
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4
2 cnmsubglem.2 . . . 4
3 eldifsn 4128 . . . 4
41, 2, 3sylanbrc 668 . . 3
54ssriv 3474 . 2
6 cnmsubglem.4 . . 3
76ne0ii 3774 . 2
8 cnmsubglem.3 . . . . 5
98ralrimiva 2846 . . . 4
10 cnfldinv 18925 . . . . . 6 fld
111, 2, 10syl2anc 665 . . . . 5 fld
12 cnmsubglem.5 . . . . 5
1311, 12eqeltrd 2517 . . . 4 fld
149, 13jca 534 . . 3 fld
1514rgen 2792 . 2 fld
16 cnmgpabl.m . . . 4 mulGrpflds
1716cnmgpabl 18955 . . 3
18 ablgrp 17361 . . 3
19 difss 3598 . . . . 5
20 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
21 cnfldbas 18900 . . . . . . 7 fld
2220, 21mgpbas 17655 . . . . . 6 mulGrpfld
2316, 22ressbas2 15133 . . . . 5
2419, 23ax-mp 5 . . . 4
25 cnex 9619 . . . . 5
26 difexg 4573 . . . . 5
27 cnfldmul 18902 . . . . . . 7 fld
2820, 27mgpplusg 17653 . . . . . 6 mulGrpfld
2916, 28ressplusg 15189 . . . . 5
3025, 26, 29mp2b 10 . . . 4
31 cnfld0 18918 . . . . . 6 fld
32 cndrng 18923 . . . . . 6 fld
3321, 31, 32drngui 17907 . . . . 5 Unitfld
34 eqid 2429 . . . . 5 fld fld
3533, 16, 34invrfval 17827 . . . 4 fld
3624, 30, 35issubg2 16774 . . 3 SubGrp fld
3717, 18, 36mp2b 10 . 2 SubGrp fld
385, 7, 15, 37mpbir3an 1187 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  cvv 3087   cdif 3439   wss 3442  c0 3767  csn 4002  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   cmul 9543   cdiv 10268  cbs 15075   ↾s cress 15076   cplusg 15143  cgrp 16611  SubGrpcsubg 16753  cabl 17357  mulGrpcmgp 17649  cinvr 17825  ℂfldccnfld 18896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-0g 15290  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-subg 16756  df-cmn 17358  df-abl 17359  df-mgp 17650  df-ur 17662  df-ring 17708  df-cring 17709  df-oppr 17777  df-dvdsr 17795  df-unit 17796  df-invr 17826  df-dvr 17837  df-drng 17903  df-cnfld 18897 This theorem is referenced by:  rpmsubg  18957  cnmsgnsubg  19067
 Copyright terms: Public domain W3C validator