MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Unicode version

Theorem cnmsubglem 17993
Description: Lemma for rpmsubg 17994 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
cnmsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnmsubglem.2  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
cnmsubglem.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnmsubglem.4  |-  1  e.  A
cnmsubglem.5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, M, y

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnmsubglem.2 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
3 eldifsn 4101 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
54ssriv 3461 . 2  |-  A  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 cnmsubglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
7 ne0i 3744 . . 3  |-  ( 1  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
86, 7ax-mp 5 . 2  |-  A  =/=  (/)
9 cnmsubglem.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
109ralrimiva 2825 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
)
11 cnfldinv 17965 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
121, 2, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
13 cnmsubglem.5 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
1412, 13eqeltrd 2539 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
1510, 14jca 532 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x  x.  y
)  e.  A  /\  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
1615rgen 2892 . 2  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
17 cnmgpabl.m . . . 4  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1817cnmgpabl 17992 . . 3  |-  M  e. 
Abel
19 ablgrp 16395 . . 3  |-  ( M  e.  Abel  ->  M  e. 
Grp )
20 difss 3584 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
21 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
22 cnfldbas 17940 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2321, 22mgpbas 16711 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
2417, 23ressbas2 14340 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  M
) )
2520, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  M )
26 cnex 9467 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
27 difexg 4541 . . . . 5  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
28 cnfldmul 17942 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2921, 28mgpplusg 16709 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3017, 29ressplusg 14391 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  M ) )
3126, 27, 30mp2b 10 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
32 cnfld0 17958 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
33 cndrng 17963 . . . . . 6  |-fld  e.  DivRing
3422, 32, 33drngui 16953 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
35 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
3634, 17, 35invrfval 16880 . . . 4  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  M )
3725, 31, 36issubg2 15807 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) ) )
3818, 19, 37mp2b 10 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) )
395, 8, 16, 38mpbir3an 1170 1  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    x. cmul 9391    / cdiv 10097   Basecbs 14285   ↾s cress 14286   +g cplusg 14349   Grpcgrp 15521  SubGrpcsubg 15786   Abelcabel 16391  mulGrpcmgp 16705   invrcinvr 16878  ℂfldccnfld 17936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-subg 15789  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-drng 16949  df-cnfld 17937
This theorem is referenced by:  rpmsubg  17994  cnmsgnsubg  18125
  Copyright terms: Public domain W3C validator