MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Unicode version

Theorem cnmsubglem 18956
Description: Lemma for rpmsubg 18957 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
cnmsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnmsubglem.2  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
cnmsubglem.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnmsubglem.4  |-  1  e.  A
cnmsubglem.5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, M, y

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnmsubglem.2 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
3 eldifsn 4128 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
41, 2, 3sylanbrc 668 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
54ssriv 3474 . 2  |-  A  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 cnmsubglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
76ne0ii 3774 . 2  |-  A  =/=  (/)
8 cnmsubglem.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
98ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
)
10 cnfldinv 18925 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
111, 2, 10syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
12 cnmsubglem.5 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
1311, 12eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
149, 13jca 534 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x  x.  y
)  e.  A  /\  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
1514rgen 2792 . 2  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
16 cnmgpabl.m . . . 4  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1716cnmgpabl 18955 . . 3  |-  M  e. 
Abel
18 ablgrp 17361 . . 3  |-  ( M  e.  Abel  ->  M  e. 
Grp )
19 difss 3598 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
20 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
21 cnfldbas 18900 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2220, 21mgpbas 17655 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
2316, 22ressbas2 15133 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  M
) )
2419, 23ax-mp 5 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  M )
25 cnex 9619 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
26 difexg 4573 . . . . 5  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
27 cnfldmul 18902 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2820, 27mgpplusg 17653 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
2916, 28ressplusg 15189 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  M ) )
3025, 26, 29mp2b 10 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
31 cnfld0 18918 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
32 cndrng 18923 . . . . . 6  |-fld  e.  DivRing
3321, 31, 32drngui 17907 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
34 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
3533, 16, 34invrfval 17827 . . . 4  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  M )
3624, 30, 35issubg2 16774 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) ) )
3717, 18, 36mp2b 10 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) )
385, 7, 15, 37mpbir3an 1187 1  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543    / cdiv 10268   Basecbs 15075   ↾s cress 15076   +g cplusg 15143   Grpcgrp 16611  SubGrpcsubg 16753   Abelcabl 17357  mulGrpcmgp 17649   invrcinvr 17825  ℂfldccnfld 18896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-0g 15290  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-subg 16756  df-cmn 17358  df-abl 17359  df-mgp 17650  df-ur 17662  df-ring 17708  df-cring 17709  df-oppr 17777  df-dvdsr 17795  df-unit 17796  df-invr 17826  df-dvr 17837  df-drng 17903  df-cnfld 18897
This theorem is referenced by:  rpmsubg  18957  cnmsgnsubg  19067
  Copyright terms: Public domain W3C validator