Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Unicode version

Theorem cnmsubglem 18248
 Description: Lemma for rpmsubg 18249 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m mulGrpflds
cnmsubglem.1
cnmsubglem.2
cnmsubglem.3
cnmsubglem.4
cnmsubglem.5
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4
2 cnmsubglem.2 . . . 4
3 eldifsn 4152 . . . 4
41, 2, 3sylanbrc 664 . . 3
54ssriv 3508 . 2
6 cnmsubglem.4 . . 3
7 ne0i 3791 . . 3
86, 7ax-mp 5 . 2
9 cnmsubglem.3 . . . . 5
109ralrimiva 2878 . . . 4
11 cnfldinv 18220 . . . . . 6 fld
121, 2, 11syl2anc 661 . . . . 5 fld
13 cnmsubglem.5 . . . . 5
1412, 13eqeltrd 2555 . . . 4 fld
1510, 14jca 532 . . 3 fld
1615rgen 2824 . 2 fld
17 cnmgpabl.m . . . 4 mulGrpflds
1817cnmgpabl 18247 . . 3
19 ablgrp 16599 . . 3
20 difss 3631 . . . . 5
21 eqid 2467 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
22 cnfldbas 18195 . . . . . . 7 fld
2321, 22mgpbas 16937 . . . . . 6 mulGrpfld
2417, 23ressbas2 14542 . . . . 5
2520, 24ax-mp 5 . . . 4
26 cnex 9569 . . . . 5
27 difexg 4595 . . . . 5
28 cnfldmul 18197 . . . . . . 7 fld
2921, 28mgpplusg 16935 . . . . . 6 mulGrpfld
3017, 29ressplusg 14593 . . . . 5
3126, 27, 30mp2b 10 . . . 4
32 cnfld0 18213 . . . . . 6 fld
33 cndrng 18218 . . . . . 6 fld
3422, 32, 33drngui 17185 . . . . 5 Unitfld
35 eqid 2467 . . . . 5 fld fld
3634, 17, 35invrfval 17106 . . . 4 fld
3725, 31, 36issubg2 16011 . . 3 SubGrp fld
3818, 19, 37mp2b 10 . 2 SubGrp fld
395, 8, 16, 38mpbir3an 1178 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  c0 3785  csn 4027  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486  cc0 9488  c1 9489   cmul 9493   cdiv 10202  cbs 14486   ↾s cress 14487   cplusg 14551  cgrp 15723  SubGrpcsubg 15990  cabl 16595  mulGrpcmgp 16931  cinvr 17104  ℂfldccnfld 18191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-subg 15993  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-cnfld 18192 This theorem is referenced by:  rpmsubg  18249  cnmsgnsubg  18380
 Copyright terms: Public domain W3C validator