Theorem cnmsgngrp 18791

Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgngrp.u	|- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )

Assertion

Ref	Expression
cnmsgngrp	|- U e. Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
2	1	cnmsgnsubg 18789	. 2 |- { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
3		cnmsgngrp.u	. . . 4 |- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
4		cnex 9562	. . . . . 6 |- CC e. _V
5		difss 3617	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) C_ CC
6	4, 5	ssexi 4582	. . . . 5 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
7		ax-1cn 9539	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		ax-1ne0 9550	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
9		eldifsn 4141	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) )
10	7, 8, 9	mpbir2an 918	. . . . . 6 |- 1 e. ( CC \ { 0 } )
11		neg1cn 10635	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
12		neg1ne0 10637	. . . . . . 7 |- -u 1 =/= 0
13		eldifsn 4141	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) )
14	11, 12, 13	mpbir2an 918	. . . . . 6 |- -u 1 e. ( CC \ { 0 } )
15		prssi 4172	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( CC \ { 0 } ) /\ -u 1 e. ( CC \ { 0 } ) ) -> { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) )
16	10, 14, 15	mp2an 670	. . . . 5 |- { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } )
17		ressabs 14785	. . . . 5 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
18	6, 16, 17	mp2an 670	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
19	3, 18	eqtr4i 2486	. . 3 |- U = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s { 1 , -u 1 } )
20	19	subggrp 16406	. 2 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> U e. Grp )
21	2, 20	ax-mp 5	1 |- U e. Grp

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   -ucneg 9797   ↾_s cress 14720   Grpcgrp 16255  SubGrpcsubg 16397  mulGrpcmgp 17339  ℂ_fldccnfld 18618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-cnfld 18619

This theorem is referenced by:  psgnghm  18792