MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgngrp Structured version   Unicode version

Theorem cnmsgngrp 18791
Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgngrp.u  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
Assertion
Ref Expression
cnmsgngrp  |-  U  e. 
Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
21cnmsgnsubg 18789 . 2  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
3 cnmsgngrp.u . . . 4  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
4 cnex 9562 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
5 difss 3617 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
64, 5ssexi 4582 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
7 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 ax-1ne0 9550 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
9 eldifsn 4141 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
107, 8, 9mpbir2an 918 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
11 neg1cn 10635 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
12 neg1ne0 10637 . . . . . . 7  |-  -u 1  =/=  0
13 eldifsn 4141 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 918 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } )
15 prssi 4172 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1610, 14, 15mp2an 670 . . . . 5  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } )
17 ressabs 14785 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
186, 16, 17mp2an 670 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
193, 18eqtr4i 2486 . . 3  |-  U  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )
2019subggrp 16406 . 2  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  U  e.  Grp )
212, 20ax-mp 5 1  |-  U  e. 
Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   -ucneg 9797   ↾s cress 14720   Grpcgrp 16255  SubGrpcsubg 16397  mulGrpcmgp 17339  ℂfldccnfld 18618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-cnfld 18619
This theorem is referenced by:  psgnghm  18792
  Copyright terms: Public domain W3C validator