Theorem cnmsgngrp 18104

Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgngrp.u	|- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )

Assertion

Ref	Expression
cnmsgngrp	|- U e. Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. . 3 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
2	1	cnmsgnsubg 18102	. 2 |- { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
3		cnmsgngrp.u	. . . 4 |- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
4		cnex 9450	. . . . . 6 |- CC e. _V
5		difss 3567	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) C_ CC
6	4, 5	ssexi 4521	. . . . 5 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
7		ax-1cn 9427	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		ax-1ne0 9438	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
9		eldifsn 4084	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) )
10	7, 8, 9	mpbir2an 911	. . . . . 6 |- 1 e. ( CC \ { 0 } )
11		neg1cn 10512	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
12		neg1ne0 10514	. . . . . . 7 |- -u 1 =/= 0
13		eldifsn 4084	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) )
14	11, 12, 13	mpbir2an 911	. . . . . 6 |- -u 1 e. ( CC \ { 0 } )
15		prssi 4113	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( CC \ { 0 } ) /\ -u 1 e. ( CC \ { 0 } ) ) -> { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) )
16	10, 14, 15	mp2an 672	. . . . 5 |- { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } )
17		ressabs 14324	. . . . 5 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
18	6, 16, 17	mp2an 672	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
19	3, 18	eqtr4i 2481	. . 3 |- U = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s { 1 , -u 1 } )
20	19	subggrp 15772	. 2 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> U e. Grp )
21	2, 20	ax-mp 5	1 |- U e. Grp

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1757   =/= wne 2641   _Vcvv 3054   \ cdif 3409   C_ wss 3412   {csn 3961   {cpr 3963   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   CCcc 9367   0cc0 9369   1c1 9370   -ucneg 9683   ↾_s cress 14263   Grpcgrp 15498  SubGrpcsubg 15763  mulGrpcmgp 16682  ℂ_fldccnfld 17913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-addf 9448  ax-mulf 9449

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-0g 14468  df-mnd 15503  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-subg 15766  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-cring 16740  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-drng 16926  df-cnfld 17914

This theorem is referenced by:  psgnghm  18105