MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Unicode version

Theorem cnmptre 21851
Description: Lemma for iirevcn 21854 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
cnmptre.2  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
cnmptre.3  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
cnmptre.4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
cnmptre.5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
cnmptre.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
cnmptre.7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptre  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Rt  A )  =  ( Rt  A )
2 cnmptre.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 21714 . . . . . 6  |-  R  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnmptre.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 ax-resscn 9595 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 cnmptre.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
91, 4, 7, 8cnmpt1res 20622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( ( Rt  A )  Cn  R
) )
10 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
112, 10rerest 21733 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( Rt  A )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )
125, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
13 cnmptre.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
1412, 13syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  J )
1514oveq1d 6320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  A )  Cn  R )  =  ( J  Cn  R
) )
169, 15eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R ) )
17 cnmptre.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
18 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  F )  =  ( x  e.  A  |->  F )
1917, 18fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B )
20 frn 5752 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B
)
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B )
22 cnmptre.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2322, 6syl6ss 3482 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
24 cnrest2 20233 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  (
x  e.  A  |->  F )  C_  B  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
254, 21, 23, 24syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
2616, 25mpbid 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) )
272, 10rerest 21733 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( Rt  B )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  B
) )
2822, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B
) )
29 cnmptre.3 . . . 4  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
3028, 29syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  K )
3130oveq2d 6321 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  ( Rt  B ) )  =  ( J  Cn  K
) )
3226, 31eleqtrd 2519 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   (,)cioo 11635   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295  ℂfldccnfld 18905  TopOnctopon 19849    Cn ccn 20171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-xms 21266  df-ms 21267
This theorem is referenced by:  iirevcn  21854  iihalf1cn  21856  iihalf2cn  21858  pcoass  21948
  Copyright terms: Public domain W3C validator