MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Unicode version

Theorem cnmptre 21254
Description: Lemma for iirevcn 21257 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
cnmptre.2  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
cnmptre.3  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
cnmptre.4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
cnmptre.5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
cnmptre.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
cnmptre.7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptre  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Rt  A )  =  ( Rt  A )
2 cnmptre.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 21117 . . . . . 6  |-  R  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnmptre.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 ax-resscn 9550 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 cnmptre.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
91, 4, 7, 8cnmpt1res 20004 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( ( Rt  A )  Cn  R
) )
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
112, 10rerest 21136 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( Rt  A )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )
125, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
13 cnmptre.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
1412, 13syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  J )
1514oveq1d 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  A )  Cn  R )  =  ( J  Cn  R
) )
169, 15eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R ) )
17 cnmptre.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
18 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  F )  =  ( x  e.  A  |->  F )
1917, 18fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B )
20 frn 5737 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B
)
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B )
22 cnmptre.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2322, 6syl6ss 3516 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
24 cnrest2 19593 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  (
x  e.  A  |->  F )  C_  B  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
254, 21, 23, 24syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
2616, 25mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) )
272, 10rerest 21136 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( Rt  B )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  B
) )
2822, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B
) )
29 cnmptre.3 . . . 4  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
3028, 29syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  K )
3130oveq2d 6301 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  ( Rt  B ) )  =  ( J  Cn  K
) )
3226, 31eleqtrd 2557 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   (,)cioo 11530   ↾t crest 14679   TopOpenctopn 14680   topGenctg 14696  ℂfldccnfld 18231  TopOnctopon 19202    Cn ccn 19531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-rest 14681  df-topn 14682  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cn 19534  df-xms 20650  df-ms 20651
This theorem is referenced by:  iirevcn  21257  iihalf1cn  21259  iihalf2cn  21261  pcoass  21351
  Copyright terms: Public domain W3C validator