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Theorem cnmptkp 19386
Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkp.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptkp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
cnmptkp.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, Z, y   
x, B    ph, x, y   
x, X, y    x, Y, y    y, B    y, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x)

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
3 cnmptk1.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
6 topontop 18664 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  Top )
9 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  U. L  =  U. L
109toptopon 18671 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
12 cnmptk1.j . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 topontop 18664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
15 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1615xkotopon 19306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
1714, 7, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
18 cnmptkp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
19 cnf2 18986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2012, 17, 18, 19syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
21 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2221fmpt 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2320, 22sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2423r19.21bi 2920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
25 cnf2 18986 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
264, 11, 24, 25syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
27 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2827fmpt 5974 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
2926, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
30 cnmptkp.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3130eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  U. L  <->  C  e.  U. L ) )
3231rspcv 3175 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  C  e.  U. L ) )
332, 29, 32sylc 60 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  U. L )
3430, 27fvmptg 5882 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `
 B )  =  C )
352, 33, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3635mpteq2dva 4487 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
37 toponuni 18665 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
383, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
391, 38eleqtrd 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
40 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4140xkopjcn 19362 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  B  e.  U. K )  -> 
( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ko  K )  Cn  L
) )
4214, 7, 39, 41syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ko  K )  Cn  L
) )
43 fveq1 5799 . . 3  |-  ( w  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( w `  B
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
4412, 18, 17, 42, 43cnmpt11 19369 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
4536, 44eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   U.cuni 4200    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Topctop 18631  TopOnctopon 18632    Cn ccn 18961    ^ko cxko 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-cn 18964  df-cmp 19123  df-xko 19269
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