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Theorem cnmptkk 19919
Description: The composition of two curried functions is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptkk.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptkk.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptkk.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkk.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
cnmptkk.n  |-  ( ph  ->  L  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptkk.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptkk.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  L ) ) )
cnmptkk.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkk  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    y, B    x, K    x, L    x, y, X    x, J    x, M    ph, x, y   
y, Y    y, z, Z    z, C
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y)    B( x, z)    C( x, y)    J( y, z)    K( y, z)    L( y, z)    M( y, z)    W( x, y, z)    X( z)    Y( x, z)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptkk
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkk.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
21adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3 cnmptkk.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
5 cnmptkk.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 19194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
8 cnmptkk.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e. 𝑛Locally  Comp )
9 nllytop 19740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  L  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
11 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1211xkotopon 19836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
137, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
14 cnmptkk.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
15 cnf2 19516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
165, 13, 14, 15syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
17 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
1817fmpt 6040 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
1916, 18sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2019r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
21 cnf2 19516 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
222, 4, 20, 21syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2423fmpt 6040 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2522, 24sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
26 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
27 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
28 cnmptkk.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
2925, 26, 27, 28fmptcof 6053 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
3029mpteq2dva 4533 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
31 cnmptkk.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  L ) ) )
32 cnmptkk.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
33 topontop 19194 . . . . 5  |-  ( M  e.  (TopOn `  W
)  ->  M  e.  Top )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
35 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( M  ^ko  L )  =  ( M  ^ko  L )
3635xkotopon 19836 . . . 4  |-  ( ( L  e.  Top  /\  M  e.  Top )  ->  ( M  ^ko  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
3710, 34, 36syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ^ko  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
38 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L )  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( f  e.  ( L  Cn  M
) ,  g  e.  ( K  Cn  L
)  |->  ( f  o.  g ) )
3938xkococn 19896 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e. 𝑛Locally  Comp  /\  M  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L )  |->  ( f  o.  g ) )  e.  ( ( ( M  ^ko  L )  tX  ( L  ^ko  K ) )  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
407, 8, 34, 39syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( f  o.  g
) )  e.  ( ( ( M  ^ko  L ) 
tX  ( L  ^ko  K ) )  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
41 coeq1 5158 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  Z  |->  B )  -> 
( f  o.  g
)  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  g ) )
42 coeq2 5159 . . . 4  |-  ( g  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  g )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) ) )
4341, 42sylan9eq 2528 . . 3  |-  ( ( f  =  ( z  e.  Z  |->  B )  /\  g  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )  ->  (
f  o.  g )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
445, 31, 14, 37, 13, 40, 43cnmpt12 19903 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
4530, 44eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Topctop 19161  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491   Compccmp 19652  𝑛Locally cnlly 19732    tX ctx 19796    ^ko cxko 19797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-ntr 19287  df-nei 19365  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-nlly 19734  df-tx 19798  df-xko 19799
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