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Theorem cnmptkk 19256
Description: The composition of two curried functions is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptkk.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptkk.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptkk.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkk.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
cnmptkk.n  |-  ( ph  ->  L  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptkk.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptkk.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  L ) ) )
cnmptkk.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkk  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    y, B    x, K    x, L    x, y, X    x, J    x, M    ph, x, y   
y, Y    y, z, Z    z, C
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y)    B( x, z)    C( x, y)    J( y, z)    K( y, z)    L( y, z)    M( y, z)    W( x, y, z)    X( z)    Y( x, z)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptkk
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkk.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
21adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3 cnmptkk.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
5 cnmptkk.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 18531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
8 cnmptkk.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e. 𝑛Locally  Comp )
9 nllytop 19077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  L  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1211xkotopon 19173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
137, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
14 cnmptkk.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
15 cnf2 18853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
165, 13, 14, 15syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
1817fmpt 5864 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
1916, 18sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2019r19.21bi 2814 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
21 cnf2 18853 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
222, 4, 20, 21syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
23 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2423fmpt 5864 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2522, 24sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
26 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
27 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
28 cnmptkk.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
2925, 26, 27, 28fmptcof 5877 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
3029mpteq2dva 4378 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
31 cnmptkk.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  L ) ) )
32 cnmptkk.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
33 topontop 18531 . . . . 5  |-  ( M  e.  (TopOn `  W
)  ->  M  e.  Top )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
35 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( M  ^ko  L )  =  ( M  ^ko  L )
3635xkotopon 19173 . . . 4  |-  ( ( L  e.  Top  /\  M  e.  Top )  ->  ( M  ^ko  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
3710, 34, 36syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ^ko  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
38 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L )  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( f  e.  ( L  Cn  M
) ,  g  e.  ( K  Cn  L
)  |->  ( f  o.  g ) )
3938xkococn 19233 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e. 𝑛Locally  Comp  /\  M  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L )  |->  ( f  o.  g ) )  e.  ( ( ( M  ^ko  L )  tX  ( L  ^ko  K ) )  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
407, 8, 34, 39syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( f  o.  g
) )  e.  ( ( ( M  ^ko  L ) 
tX  ( L  ^ko  K ) )  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
41 coeq1 4997 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  Z  |->  B )  -> 
( f  o.  g
)  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  g ) )
42 coeq2 4998 . . . 4  |-  ( g  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  g )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) ) )
4341, 42sylan9eq 2495 . . 3  |-  ( ( f  =  ( z  e.  Z  |->  B )  /\  g  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )  ->  (
f  o.  g )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
445, 31, 14, 37, 13, 40, 43cnmpt12 19240 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
4530, 44eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    e. cmpt 4350    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   Topctop 18498  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   Compccmp 18989  𝑛Locally cnlly 19069    tX ctx 19133    ^ko cxko 19134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-fin 7314  df-fi 7661  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cmp 18990  df-nlly 19071  df-tx 19135  df-xko 19136
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