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Theorem cnmptk2 19375
Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk2.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptk2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk2
Dummy variables  f 
k  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5797 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
2 nfcv 2613 . . . . 5  |-  F/_ x
k
31, 2nffv 5796 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
4 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ y X
5 nfmpt1 4479 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  A )
64, 5nfmpt 4478 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
7 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ y
w
86, 7nffv 5796 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
9 nfcv 2613 . . . . 5  |-  F/_ y
k
108, 9nffv 5796 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
11 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ w
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
12 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ k
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
13 fveq2 5789 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) )
1413fveq1d 5791 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k ) )
15 fveq2 5789 . . . . 5  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
1614, 15sylan9eq 2512 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  k  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )
173, 10, 11, 12, 16cbvmpt2 6264 . . 3  |-  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `  k
) )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
18 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
19 cnmptk1p.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
20 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
21 nllytop 19193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
23 cnmptk1p.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
24 topontop 18647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
2726xkotopon 19289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2822, 25, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
29 cnmptk2.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
30 cnf2 18969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3119, 28, 29, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
32 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3332fmpt 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3431, 33sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3534r19.21bi 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3732fvmpt2 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3818, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3938fveq1d 5791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y
) )
40 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
41 cnmptk1p.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4323adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
44 cnf2 18969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4542, 43, 35, 44syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
46 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
4746fmpt 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4845, 47sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
4948r19.21bi 2910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z )
5046fvmpt2 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y )  =  A )
5140, 49, 50syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  y
)  =  A )
5239, 51eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  A )
53523impa 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `  y
)  =  A )
5453mpt2eq3dva 6249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5517, 54syl5eq 2504 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5619, 41cnmpt1st 19357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  w )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
5719, 41, 56, 29cnmpt21f 19361 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
5819, 41cnmpt2nd 19358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  k )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
59 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
60 toponuni 18648 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6141, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
62 mpt2eq12 6245 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
6359, 61, 62sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
64 eqid 2451 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
65 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
6664, 65xkofvcn 19373 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
6720, 25, 66syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K )  Cn  L ) )
6863, 67eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K ) 
tX  K )  Cn  L ) )
69 fveq1 5788 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  ->  ( f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z ) )
70 fveq2 5789 . . . 4  |-  ( z  =  k  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k ) )
7169, 70sylan9eq 2512 . . 3  |-  ( ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  /\  z  =  k )  ->  (
f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
) `  k )
)
7219, 41, 57, 58, 28, 41, 68, 71cnmpt22 19363 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) )
7355, 72eqeltrrd 2540 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   U.cuni 4189    |-> cmpt 4448   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   Topctop 18614  TopOnctopon 18615    Cn ccn 18944   Compccmp 19105  𝑛Locally cnlly 19185    tX ctx 19249    ^ko cxko 19250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fi 7762  df-rest 14463  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-ntr 18740  df-nei 18818  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-cmp 19106  df-nlly 19187  df-tx 19251  df-xko 19252
This theorem is referenced by:  xkocnv  19503
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