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Theorem cnmptk2 19239
Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk2.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptk2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk2
Dummy variables  f 
k  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5694 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
2 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ x
k
31, 2nffv 5693 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
4 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ y X
5 nfmpt1 4376 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  A )
64, 5nfmpt 4375 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
7 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ y
w
86, 7nffv 5693 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
9 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ y
k
108, 9nffv 5693 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
11 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ w
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
12 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ k
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
13 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) )
1413fveq1d 5688 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k ) )
15 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
1614, 15sylan9eq 2490 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  k  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )
173, 10, 11, 12, 16cbvmpt2 6160 . . 3  |-  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `  k
) )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
18 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
19 cnmptk1p.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
20 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
21 nllytop 19057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
23 cnmptk1p.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
24 topontop 18511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
26 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
2726xkotopon 19153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2822, 25, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
29 cnmptk2.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
30 cnf2 18833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3119, 28, 29, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3332fmpt 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3431, 33sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3534r19.21bi 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3732fvmpt2 5776 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3818, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3938fveq1d 5688 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y
) )
40 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
41 cnmptk1p.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4323adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
44 cnf2 18833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4542, 43, 35, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
46 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
4746fmpt 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4845, 47sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
4948r19.21bi 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z )
5046fvmpt2 5776 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y )  =  A )
5140, 49, 50syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  y
)  =  A )
5239, 51eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  A )
53523impa 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `  y
)  =  A )
5453mpt2eq3dva 6145 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5517, 54syl5eq 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5619, 41cnmpt1st 19221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  w )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
5719, 41, 56, 29cnmpt21f 19225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
5819, 41cnmpt2nd 19222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  k )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
59 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
60 toponuni 18512 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6141, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
62 mpt2eq12 6141 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
6359, 61, 62sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
64 eqid 2438 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
65 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
6664, 65xkofvcn 19237 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
6720, 25, 66syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K )  Cn  L ) )
6863, 67eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K ) 
tX  K )  Cn  L ) )
69 fveq1 5685 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  ->  ( f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z ) )
70 fveq2 5686 . . . 4  |-  ( z  =  k  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k ) )
7169, 70sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  /\  z  =  k )  ->  (
f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
) `  k )
)
7219, 41, 57, 58, 28, 41, 68, 71cnmpt22 19227 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) )
7355, 72eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   Topctop 18478  TopOnctopon 18479    Cn ccn 18808   Compccmp 18969  𝑛Locally cnlly 19049    tX ctx 19113    ^ko cxko 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-ntr 18604  df-nei 18682  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-cmp 18970  df-nlly 19051  df-tx 19115  df-xko 19116
This theorem is referenced by:  xkocnv  19367
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