Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptk2 Structured version   Unicode version

Theorem cnmptk2 20693
 Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j TopOn
cnmptk1p.k TopOn
cnmptk1p.l TopOn
cnmptk1p.n 𝑛Locally
cnmptk2.a
Assertion
Ref Expression
cnmptk2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnmptk2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5887 . . . . 5
2 nfcv 2585 . . . . 5
31, 2nffv 5886 . . . 4
4 nfcv 2585 . . . . . . 7
5 nfmpt1 4511 . . . . . . 7
64, 5nfmpt 4510 . . . . . 6
7 nfcv 2585 . . . . . 6
86, 7nffv 5886 . . . . 5
9 nfcv 2585 . . . . 5
108, 9nffv 5886 . . . 4
11 nfcv 2585 . . . 4
12 nfcv 2585 . . . 4
13 fveq2 5879 . . . . . 6
1413fveq1d 5881 . . . . 5
15 fveq2 5879 . . . . 5
1614, 15sylan9eq 2484 . . . 4
173, 10, 11, 12, 16cbvmpt2 6382 . . 3
18 simplr 761 . . . . . . . 8
19 cnmptk1p.j . . . . . . . . . . . 12 TopOn
20 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally
21 nllytop 20480 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
23 cnmptk1p.l . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
24 topontop 19933 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
26 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14
2726xkotopon 20607 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
2822, 25, 27syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
29 cnmptk2.a . . . . . . . . . . . 12
30 cnf2 20257 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
3119, 28, 29, 30syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11
32 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12
3332fmpt 6056 . . . . . . . . . . 11
3431, 33sylibr 216 . . . . . . . . . 10
3534r19.21bi 2795 . . . . . . . . 9
3635adantr 467 . . . . . . . 8
3732fvmpt2 5971 . . . . . . . 8
3818, 36, 37syl2anc 666 . . . . . . 7
3938fveq1d 5881 . . . . . 6
40 simpr 463 . . . . . . 7
41 cnmptk1p.k . . . . . . . . . . 11 TopOn
4241adantr 467 . . . . . . . . . 10 TopOn
4323adantr 467 . . . . . . . . . 10 TopOn
44 cnf2 20257 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4542, 43, 35, 44syl3anc 1265 . . . . . . . . 9
46 eqid 2423 . . . . . . . . . 10
4746fmpt 6056 . . . . . . . . 9
4845, 47sylibr 216 . . . . . . . 8
4948r19.21bi 2795 . . . . . . 7
5046fvmpt2 5971 . . . . . . 7
5140, 49, 50syl2anc 666 . . . . . 6
5239, 51eqtrd 2464 . . . . 5
53523impa 1201 . . . 4
5453mpt2eq3dva 6367 . . 3
5517, 54syl5eq 2476 . 2
5619, 41cnmpt1st 20675 . . . 4
5719, 41, 56, 29cnmpt21f 20679 . . 3
5819, 41cnmpt2nd 20676 . . 3
59 eqid 2423 . . . . 5
60 toponuni 19934 . . . . . 6 TopOn
6141, 60syl 17 . . . . 5
62 mpt2eq12 6363 . . . . 5
6359, 61, 62sylancr 668 . . . 4
64 eqid 2423 . . . . . 6
65 eqid 2423 . . . . . 6
6664, 65xkofvcn 20691 . . . . 5 𝑛Locally
6720, 25, 66syl2anc 666 . . . 4
6863, 67eqeltrd 2511 . . 3
69 fveq1 5878 . . . 4
70 fveq2 5879 . . . 4
7169, 70sylan9eq 2484 . . 3
7219, 41, 57, 58, 28, 41, 68, 71cnmpt22 20681 . 2
7355, 72eqeltrrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  wral 2776  cuni 4217   cmpt 4480  wf 5595  cfv 5599  (class class class)co 6303   cmpt2 6305  ctop 19909  TopOnctopon 19910   ccn 20232  ccmp 20393  𝑛Locally cnlly 20472   ctx 20567   cxko 20568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-ntr 20027  df-nei 20106  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-cmp 20394  df-nlly 20474  df-tx 20569  df-xko 20570 This theorem is referenced by:  xkocnv  20821
 Copyright terms: Public domain W3C validator