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Theorem cnmptk2 20693
Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk2.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptk2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk2
Dummy variables  f 
k  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5887 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
2 nfcv 2585 . . . . 5  |-  F/_ x
k
31, 2nffv 5886 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
4 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ y X
5 nfmpt1 4511 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  A )
64, 5nfmpt 4510 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
7 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ y
w
86, 7nffv 5886 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
9 nfcv 2585 . . . . 5  |-  F/_ y
k
108, 9nffv 5886 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
11 nfcv 2585 . . . 4  |-  F/_ w
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
12 nfcv 2585 . . . 4  |-  F/_ k
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
13 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) )
1413fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k ) )
15 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
1614, 15sylan9eq 2484 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  k  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )
173, 10, 11, 12, 16cbvmpt2 6382 . . 3  |-  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `  k
) )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
18 simplr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
19 cnmptk1p.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
20 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
21 nllytop 20480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
23 cnmptk1p.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
24 topontop 19933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
26 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
2726xkotopon 20607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2822, 25, 27syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
29 cnmptk2.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
30 cnf2 20257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3119, 28, 29, 30syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
32 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3332fmpt 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3431, 33sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3534r19.21bi 2795 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3635adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3732fvmpt2 5971 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3818, 36, 37syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3938fveq1d 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y
) )
40 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
41 cnmptk1p.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4241adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4323adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
44 cnf2 20257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4542, 43, 35, 44syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
46 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
4746fmpt 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4845, 47sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
4948r19.21bi 2795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z )
5046fvmpt2 5971 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y )  =  A )
5140, 49, 50syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  y
)  =  A )
5239, 51eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  A )
53523impa 1201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `  y
)  =  A )
5453mpt2eq3dva 6367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5517, 54syl5eq 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5619, 41cnmpt1st 20675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  w )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
5719, 41, 56, 29cnmpt21f 20679 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
5819, 41cnmpt2nd 20676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  k )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
59 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
60 toponuni 19934 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6141, 60syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
62 mpt2eq12 6363 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
6359, 61, 62sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
64 eqid 2423 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
65 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
6664, 65xkofvcn 20691 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
6720, 25, 66syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K )  Cn  L ) )
6863, 67eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K ) 
tX  K )  Cn  L ) )
69 fveq1 5878 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  ->  ( f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z ) )
70 fveq2 5879 . . . 4  |-  ( z  =  k  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k ) )
7169, 70sylan9eq 2484 . . 3  |-  ( ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  /\  z  =  k )  ->  (
f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
) `  k )
)
7219, 41, 57, 58, 28, 41, 68, 71cnmpt22 20681 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) )
7355, 72eqeltrrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   U.cuni 4217    |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   Topctop 19909  TopOnctopon 19910    Cn ccn 20232   Compccmp 20393  𝑛Locally cnlly 20472    tX ctx 20567    ^ko cxko 20568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-ntr 20027  df-nei 20106  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-cmp 20394  df-nlly 20474  df-tx 20569  df-xko 20570
This theorem is referenced by:  xkocnv  20821
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