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Theorem cnmptk1p 19277
Description: The evaluation of a curried function by a one-arg function is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk1p.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptk1p.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmptk1p.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptk1p  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    y, B    y, C    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x)    C( x)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk1p
Dummy variables  f 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1p.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptk1p.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmptk1p.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnf2 18872 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
76fmpt 5883 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
85, 7sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Y )
98r19.21bi 2833 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
102adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
11 cnmptk1p.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
13 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
14 nllytop 19096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
16 topontop 18550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1918xkotopon 19192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2015, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
21 cnmptk1p.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
22 cnf2 18872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
231, 20, 21, 22syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2524fmpt 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2623, 25sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2726r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
28 cnf2 18872 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2910, 12, 27, 28syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
30 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
3130fmpt 5883 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
3229, 31sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
33 cnmptk1p.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3433eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  Z  <->  C  e.  Z ) )
3534rspcv 3088 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  C  e.  Z ) )
369, 32, 35sylc 60 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  Z )
3733, 30fvmptg 5791 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B )  =  C )
389, 36, 37syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3938mpteq2dva 4397 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
40 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
41 toponuni 18551 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
422, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
43 mpt2eq12 6165 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
4440, 42, 43sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
45 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
46 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
4745, 46xkofvcn 19276 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
4813, 17, 47syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K )  Cn  L ) )
4944, 48eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K ) 
tX  K )  Cn  L ) )
50 fveq1 5709 . . . 4  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  z ) )
51 fveq2 5710 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  z
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
5250, 51sylan9eq 2495 . . 3  |-  ( ( f  =  ( y  e.  Y  |->  A )  /\  z  =  B )  ->  ( f `  z )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B
) )
531, 21, 3, 20, 2, 49, 52cnmpt12 19259 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
5439, 53eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   U.cuni 4110    e. cmpt 4369   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   Topctop 18517  TopOnctopon 18518    Cn ccn 18847   Compccmp 19008  𝑛Locally cnlly 19088    tX ctx 19152    ^ko cxko 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-ntr 18643  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-cmp 19009  df-nlly 19090  df-tx 19154  df-xko 19155
This theorem is referenced by:  xkohmeo  19407
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