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Theorem cnmptk1p 20355
Description: The evaluation of a curried function by a one-arg function is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk1p.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptk1p.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmptk1p.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptk1p  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    y, B    y, C    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x)    C( x)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk1p
Dummy variables  f 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1p.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptk1p.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmptk1p.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnf2 19920 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
6 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
76fmpt 6028 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
85, 7sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Y )
98r19.21bi 2823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
102adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
11 cnmptk1p.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
1211adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
13 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
14 nllytop 20143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
16 topontop 19597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
18 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1918xkotopon 20270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2015, 17, 19syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
21 cnmptk1p.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
22 cnf2 19920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
231, 20, 21, 22syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
24 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2524fmpt 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2623, 25sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2726r19.21bi 2823 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
28 cnf2 19920 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2910, 12, 27, 28syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
30 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
3130fmpt 6028 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
3229, 31sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
33 cnmptk1p.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3433eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  Z  <->  C  e.  Z ) )
3534rspcv 3203 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  C  e.  Z ) )
369, 32, 35sylc 60 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  Z )
3733, 30fvmptg 5929 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B )  =  C )
389, 36, 37syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3938mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
40 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
41 toponuni 19598 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
422, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
43 mpt2eq12 6330 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
4440, 42, 43sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
45 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
46 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
4745, 46xkofvcn 20354 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
4813, 17, 47syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  tX  K )  Cn  L ) )
4944, 48eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K ) 
tX  K )  Cn  L ) )
50 fveq1 5847 . . . 4  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  z ) )
51 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  z
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
5250, 51sylan9eq 2515 . . 3  |-  ( ( f  =  ( y  e.  Y  |->  A )  /\  z  =  B )  ->  ( f `  z )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B
) )
531, 21, 3, 20, 2, 49, 52cnmpt12 20337 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
5439, 53eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   Topctop 19564  TopOnctopon 19565    Cn ccn 19895   Compccmp 20056  𝑛Locally cnlly 20135    tX ctx 20230    ^ko cxko 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-ntr 19691  df-nei 19769  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-cmp 20057  df-nlly 20137  df-tx 20232  df-xko 20233
This theorem is referenced by:  xkohmeo  20485
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