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Theorem cnmptk1 20348
Description: The composition of a curried function with a one-arg function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptk1.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmptk1.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptk1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, M, y   
x, z, Z, y   
z, A    x, B    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y   
z, C    y, B
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( z)    K( z)    L( z)    M( z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem cnmptk1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
21adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3 cnmptk1.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
43adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
5 cnmptk1.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 19594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
8 topontop 19594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
93, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
10 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1110xkotopon 20267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
127, 9, 11syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
13 cnmptk1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
14 cnf2 19917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
155, 12, 13, 14syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
16 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
1716fmpt 6028 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
1815, 17sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
1918r19.21bi 2823 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
20 cnf2 19917 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
212, 4, 19, 20syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
22 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2322fmpt 6028 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2421, 23sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
25 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
26 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
27 cnmptk1.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
2824, 25, 26, 27fmptcof 6041 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
2928mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
30 cnmptk1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
317, 30xkoco2cn 20325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  w ) )  e.  ( ( L  ^ko  K )  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
32 coeq2 5150 . . 3  |-  ( w  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  w )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) ) )
335, 13, 12, 31, 32cnmpt11 20330 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
3429, 33eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Topctop 19561  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892    ^ko cxko 20228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cn 19895  df-cmp 20054  df-xko 20230
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  20355
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