MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptk1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnmptk1 20751
Description: The composition of a curried function with a one-arg function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
cnmptk1.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmptk1.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptk1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, M, y   
x, z, Z, y   
z, A    x, B    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y   
z, C    y, B
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( z)    K( z)    L( z)    M( z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem cnmptk1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
21adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3 cnmptk1.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
43adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
5 cnmptk1.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 19996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
71, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
8 topontop 19996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
93, 8syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
10 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
1110xkotopon 20670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
127, 9, 11syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
13 cnmptk1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
14 cnf2 20320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
155, 12, 13, 14syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
16 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
1716fmpt 6071 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
1815, 17sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
1918r19.21bi 2769 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
20 cnf2 20320 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
212, 4, 19, 20syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
22 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2322fmpt 6071 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2421, 23sylibr 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
25 eqidd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
26 eqidd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
27 cnmptk1.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
2824, 25, 26, 27fmptcof 6086 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
2928mpteq2dva 4505 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
30 cnmptk1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
317, 30xkoco2cn 20728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  w ) )  e.  ( ( L  ^ko  K )  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
32 coeq2 5015 . . 3  |-  ( w  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  w )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) ) )
335, 13, 12, 31, 32cnmpt11 20733 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
3429, 33eqeltrrd 2541 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ko  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749    |-> cmpt 4477    o. ccom 4860   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Topctop 19972  TopOnctopon 19973    Cn ccn 20295    ^ko cxko 20631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-fin 7604  df-fi 7956  df-rest 15376  df-topgen 15397  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-cn 20298  df-cmp 20457  df-xko 20633
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  20758
  Copyright terms: Public domain W3C validator