MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Unicode version

Theorem cnmptid 17187
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
StepHypRef Expression
1 equcom 1824 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 3980 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4203 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4009 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2283 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 4858 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3119 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 4907 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 10 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2273 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 16819 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2338 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   {copab 3973    e. cmpt 3974    _I cid 4197    |` cres 4582   ` cfv 4592  (class class class)co 5710  TopOnctopon 16464    Cn ccn 16786
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  17213  txcon  17215  pt1hmeo  17329  istgp2  17606  tmdmulg  17607  tmdlactcn  17617  clsnsg  17624  tgpt0  17633  tlmtgp  17710  nmcn  18181  expcn  18208  divccn  18209  cncfmptid  18248  cdivcncf  18252  iirevcn  18260  iihalf1cn  18262  iihalf2cn  18264  icchmeo  18271  evth2  18290  pcocn  18347  pcopt  18352  pcopt2  18353  pcoass  18354  csscld  18508  clsocv  18509  dvcnvlem  19155  resqrcn  19957  sqrcn  19958  efrlim  20096  ipasslem7  21244  occllem  21712  hmopidmchi  22561  cvxpcon  22944  cvmlift2lem2  23006  cvmlift2lem3  23007  cvmliftphtlem  23019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-top 16468  df-topon 16471  df-cn 16789
  Copyright terms: Public domain W3C validator