MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Structured version   Unicode version

Theorem cnmptid 19256
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equcom 1732 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4377 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4658 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4405 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2473 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 5127 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3397 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 5177 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2463 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 18883 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2528 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   {copab 4370    e. cmpt 4371    _I cid 4652    |` cres 4863   ` cfv 5439  (class class class)co 6112  TopOnctopon 18521    Cn ccn 18850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-map 7237  df-top 18525  df-topon 18528  df-cn 18853
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  19282  txcon  19284  imasnopn  19285  imasncld  19286  imasncls  19287  pt1hmeo  19401  istgp2  19684  tmdmulg  19685  tmdlactcn  19695  clsnsg  19702  tgpt0  19711  tlmtgp  19792  nmcn  20443  expcn  20470  divccn  20471  cncfmptid  20510  cdivcncf  20515  iirevcn  20524  iihalf1cn  20526  iihalf2cn  20528  icchmeo  20535  evth2  20554  pcocn  20611  pcopt  20616  pcopt2  20617  pcoass  20618  csscld  20783  clsocv  20784  dvcnvlem  21470  resqrcn  22209  sqrcn  22210  efrlim  22385  ipasslem7  24258  occllem  24728  hmopidmchi  25577  rmulccn  26380  cvxpcon  27153  cvmlift2lem2  27215  cvmlift2lem3  27216  cvmliftphtlem  27228
  Copyright terms: Public domain W3C validator