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Theorem cnmptcom 20770
Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptcom.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptcom.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptcom.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptcom  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    x, X, y    ph, x, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptcom.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptcom.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 20683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmptcom.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
6 cntop2 20334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
8 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
98toptopon 20025 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
107, 9sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
11 cnf2 20342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
124, 10, 5, 11syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
13 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1413fmpt2 6879 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> U. L )
15 ralcom 2937 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
1614, 15bitr3i 259 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L  <->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
1712, 16sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
18 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
1918fmpt2 6879 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
2017, 19sylib 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
21 ffn 5739 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X
) )
2220, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X ) )
23 fnov 6423 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X )  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
2422, 23sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
25 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y
z
26 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x
z
27 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x w
28 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ y
ph
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
x
30 nfmpt22 6378 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
3129, 30, 25nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )
32 nfmpt21 6377 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3325, 32, 29nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )
3431, 33nfeq 2623 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )
3528, 34nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
36 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
37 nfmpt21 6377 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
3827, 37, 26nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )
39 nfmpt22 6378 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
4026, 39, 27nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
4138, 40nfeq 2623 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
4236, 41nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  ->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
43 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )
44 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
4543, 44eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  <->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
4645imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  <-> 
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) ) )
47 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )
48 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
4947, 48eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  <->  ( w ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
5049imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  <-> 
( ph  ->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) ) )
51 rsp2 2780 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  ->  (
( y  e.  Y  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  U. L ) )
5217, 51syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. L ) )
5352com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  ->  A  e.  U. L ) )
5413ovmpt4g 6438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
55543com12 1235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
5618ovmpt4g 6438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
5755, 56eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
58573expia 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  U. L  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
5953, 58syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
6025, 26, 27, 35, 42, 46, 50, 59vtocl2gaf 3100 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  Y  /\  w  e.  X )  ->  ( ph  ->  (
w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
6160com12 31 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Y  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
62613impib 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y  /\  w  e.  X
)  ->  ( w
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
6362mpt2eq3dva 6374 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
6424, 63eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) ) )
652, 1cnmpt2nd 20761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  w )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
662, 1cnmpt1st 20760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  z )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
672, 1, 65, 66, 5cnmpt22f 20767 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
6864, 67eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   U.cuni 4190    X. cxp 4837    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317    tX ctx 20652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fo 5595  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-tx 20654
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  20780  htpycc  22089
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