MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptc Structured version   Unicode version

Theorem cnmptc 19194
Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, Y    x, K    x, P

Proof of Theorem cnmptc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4878 . 2  |-  ( X  X.  { P }
)  =  ( x  e.  X  |->  P )
2 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmptc.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmptc.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
5 cnconst2 18846 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
71, 6syl5eqelr 2526 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   {csn 3874    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212  df-topgen 14378  df-top 18462  df-topon 18465  df-cn 18790  df-cnp 18791
This theorem is referenced by:  cnmpt2c  19202  xkoinjcn  19219  txcon  19221  imasnopn  19222  imasncld  19223  imasncls  19224  istgp2  19621  tmdmulg  19622  tmdgsum  19625  tmdlactcn  19632  clsnsg  19639  tgpt0  19648  tlmtgp  19729  nmcn  20380  fsumcn  20405  expcn  20407  divccn  20408  cncfmptc  20446  cdivcncf  20452  iirevcn  20461  iihalf1cn  20463  iihalf2cn  20465  icchmeo  20472  evth  20490  evth2  20491  pcocn  20548  pcopt  20553  pcopt2  20554  pcoass  20555  csscld  20720  clsocv  20721  dvcnvlem  21407  plycn  21687  psercn2  21847  resqrcn  22146  sqrcn  22147  atansopn  22286  efrlim  22322  ipasslem7  24171  occllem  24641  rmulccn  26294  txsconlem  27059  cvxpcon  27061  cvmlift2lem2  27123  cvmlift2lem3  27124  cvmliftphtlem  27136  sinccvglem  27246  areacirclem2  28410
  Copyright terms: Public domain W3C validator