MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptc Structured version   Unicode version

Theorem cnmptc 19362
Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, Y    x, K    x, P

Proof of Theorem cnmptc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4985 . 2  |-  ( X  X.  { P }
)  =  ( x  e.  X  |->  P )
2 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmptc.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmptc.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
5 cnconst2 19014 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
71, 6syl5eqelr 2545 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   {csn 3980    |-> cmpt 4453    X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195  TopOnctopon 18626    Cn ccn 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-map 7321  df-topgen 14496  df-top 18630  df-topon 18633  df-cn 18958  df-cnp 18959
This theorem is referenced by:  cnmpt2c  19370  xkoinjcn  19387  txcon  19389  imasnopn  19390  imasncld  19391  imasncls  19392  istgp2  19789  tmdmulg  19790  tmdgsum  19793  tmdlactcn  19800  clsnsg  19807  tgpt0  19816  tlmtgp  19897  nmcn  20548  fsumcn  20573  expcn  20575  divccn  20576  cncfmptc  20614  cdivcncf  20620  iirevcn  20629  iihalf1cn  20631  iihalf2cn  20633  icchmeo  20640  evth  20658  evth2  20659  pcocn  20716  pcopt  20721  pcopt2  20722  pcoass  20723  csscld  20888  clsocv  20889  dvcnvlem  21576  plycn  21856  psercn2  22016  resqrcn  22315  sqrcn  22316  atansopn  22455  efrlim  22491  ipasslem7  24383  occllem  24853  rmulccn  26498  txsconlem  27268  cvxpcon  27270  cvmlift2lem2  27332  cvmlift2lem3  27333  cvmliftphtlem  27345  sinccvglem  27456  areacirclem2  28628
  Copyright terms: Public domain W3C validator