Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2vsca Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2vsca 19894
 Description: Continuity of scalar multiplication; analogue of cnmpt22f 19373 which cannot be used directly because is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tlmtrg.f Scalar
cnmpt1vsca.t
cnmpt1vsca.j
cnmpt1vsca.k
cnmpt1vsca.w TopMod
cnmpt1vsca.l TopOn
cnmpt2vsca.m TopOn
cnmpt2vsca.a
cnmpt2vsca.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2vsca
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem cnmpt2vsca
StepHypRef Expression
1 cnmpt1vsca.l . . . . . . . . . 10 TopOn
2 cnmpt2vsca.m . . . . . . . . . 10 TopOn
3 txtopon 19289 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9 TopOn
5 cnmpt1vsca.w . . . . . . . . . . 11 TopMod
6 tlmtrg.f . . . . . . . . . . . 12 Scalar
76tlmscatps 19890 . . . . . . . . . . 11 TopMod
85, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
9 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
10 cnmpt1vsca.k . . . . . . . . . . 11
119, 10istps 18666 . . . . . . . . . 10 TopOn
128, 11sylib 196 . . . . . . . . 9 TopOn
13 cnmpt2vsca.a . . . . . . . . 9
14 cnf2 18978 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
154, 12, 13, 14syl3anc 1219 . . . . . . . 8
16 eqid 2451 . . . . . . . . 9
1716fmpt2 6744 . . . . . . . 8
1815, 17sylibr 212 . . . . . . 7
1918r19.21bi 2913 . . . . . 6
2019r19.21bi 2913 . . . . 5
21 tlmtps 19887 . . . . . . . . . . 11 TopMod
225, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
24 cnmpt1vsca.j . . . . . . . . . . 11
2523, 24istps 18666 . . . . . . . . . 10 TopOn
2622, 25sylib 196 . . . . . . . . 9 TopOn
27 cnmpt2vsca.b . . . . . . . . 9
28 cnf2 18978 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
294, 26, 27, 28syl3anc 1219 . . . . . . . 8
30 eqid 2451 . . . . . . . . 9
3130fmpt2 6744 . . . . . . . 8
3229, 31sylibr 212 . . . . . . 7
3332r19.21bi 2913 . . . . . 6
3433r19.21bi 2913 . . . . 5
35 eqid 2451 . . . . . 6
36 cnmpt1vsca.t . . . . . 6
3723, 6, 9, 35, 36scafval 17082 . . . . 5
3820, 34, 37syl2anc 661 . . . 4
39383impa 1183 . . 3
4039mpt2eq3dva 6252 . 2
4135, 24, 6, 10vscacn 19885 . . . 4 TopMod
425, 41syl 16 . . 3
431, 2, 13, 27, 42cnmpt22f 19373 . 2
4440, 43eqeltrrd 2540 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795   cxp 4939  wf 5515  cfv 5519  (class class class)co 6193   cmpt2 6195  cbs 14285  Scalarcsca 14352  cvsca 14353  ctopn 14471  cscaf 17064  TopOnctopon 18624  ctps 18626   ccn 18953   ctx 19258  TopModctlm 19857 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-map 7319  df-slot 14289  df-base 14290  df-topgen 14493  df-scaf 17066  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cn 18956  df-tx 19260  df-tmd 19768  df-tgp 19769  df-trg 19859  df-tlm 19861 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator