Theorem cnmpt2t 20358

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2t	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5805	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. ) )
2		df-ov 6237	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. )
3	1, 2	syl6eqr 2461	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) )
4		fveq2 5805	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. ) )
5		df-ov 6237	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. )
6	4, 5	syl6eqr 2461	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) )
7	3, 6	opeq12d 4166	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. = <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
8	7	mpt2mpt 6331	. . . 4 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
9		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ x u
10		nfmpt21 6301	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
11		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ x v
12	9, 10, 11	nfov 6260	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
13		nfmpt21 6301	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> B )
14	9, 13, 11	nfov 6260	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
15	12, 14	nfop 4174	. . . . 5 |- F/_ x <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
16		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ y u
17		nfmpt22 6302	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
18		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ y v
19	16, 17, 18	nfov 6260	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
20		nfmpt22 6302	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	16, 20, 18	nfov 6260	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
22	19, 21	nfop 4174	. . . . 5 |- F/_ y <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
23		nfcv 2564	. . . . 5 |- F/_ u <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
24		nfcv 2564	. . . . 5 |- F/_ v <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
25		oveq12 6243	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) )
26		oveq12 6243	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) )
27	25, 26	opeq12d 4166	. . . . 5 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. = <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
28	15, 22, 23, 24, 27	cbvmpt2 6313	. . . 4 |- ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
29	8, 28	eqtri 2431	. . 3 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
30		cnmpt21.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
31		cnmpt21.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		txtopon 20276	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
34		toponuni 19612	. . . 4 |- ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
35		mpteq1 4474	. . . 4 |- ( ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
36	33, 34, 35	3syl 20	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
37		simp2 998	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> x e. X )
38		simp3 999	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> y e. Y )
39		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
40		cntop2 19927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. Top )
42		eqid 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- U. L = U. L
43	42	toptopon 19618	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
44	41, 43	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
45		cnf2 19935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
46	33, 44, 39, 45	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
47		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
48	47	fmpt2 6805	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
49	46, 48	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. U. L )
50		rsp2 2777	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
52	51	3impib 1195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L )
53	47	ovmpt4g 6362	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
54	37, 38, 52, 53	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
55		cnmpt2t.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
56		cntop2 19927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) -> M e. Top )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. Top )
58		eqid 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- U. M = U. M
59	58	toptopon 19618	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
60	57, 59	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
61		cnf2 19935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
62	33, 60, 55, 61	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
63		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
64	63	fmpt2 6805	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
65	62, 64	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. U. M )
66		rsp2 2777	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
68	67	3impib 1195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M )
69	63	ovmpt4g 6362	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ B e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
70	37, 38, 68, 69	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
71	54, 70	opeq12d 4166	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. = <. A , B >. )
72	71	mpt2eq3dva 6298	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
73	29, 36, 72	3eqtr3a 2467	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
74		eqid 2402	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
75		eqid 2402	. . . 4 |- ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. )
76	74, 75	txcnmpt 20309	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
77	39, 55, 76	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
78	73, 77	eqeltrrd 2491	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   <.cop 3977   U.cuni 4190   |-> cmpt 4452   X. cxp 4940   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   |-> cmpt2 6236   Topctop 19578  TopOnctopon 19579   Cn ccn 19910   tX ctx 20245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-map 7379  df-topgen 14950  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-cn 19913  df-tx 20247

This theorem is referenced by:  cnmpt22  20359  txhmeo  20488  txswaphmeo  20490  txsconlem  29418