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Theorem cnmpt2t 20358
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt2t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2t  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, M, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5805 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. u ,  v >.
) )
2 df-ov 6237 . . . . . . 7  |-  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. u ,  v
>. )
31, 2syl6eqr 2461 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z )  =  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) )
4 fveq2 5805 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  <. u ,  v >.
) )
5 df-ov 6237 . . . . . . 7  |-  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 <. u ,  v
>. )
64, 5syl6eqr 2461 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 z )  =  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) )
73, 6opeq12d 4166 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >.  =  <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
>. )
87mpt2mpt 6331 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. )  =  (
u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  <.
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >. )
9 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x u
10 nfmpt21 6301 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
11 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x
v
129, 10, 11nfov 6260 . . . . . 6  |-  F/_ x
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )
13 nfmpt21 6301 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
149, 13, 11nfov 6260 . . . . . 6  |-  F/_ x
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
1512, 14nfop 4174 . . . . 5  |-  F/_ x <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.
16 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ y
u
17 nfmpt22 6302 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
18 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
1916, 17, 18nfov 6260 . . . . . 6  |-  F/_ y
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )
20 nfmpt22 6302 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2116, 20, 18nfov 6260 . . . . . 6  |-  F/_ y
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
2219, 21nfop 4174 . . . . 5  |-  F/_ y <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.
23 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ u <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >.
24 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ v <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >.
25 oveq12 6243 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  ->  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) )
26 oveq12 6243 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  ->  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) )
2725, 26opeq12d 4166 . . . . 5  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  -> 
<. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.  =  <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y )
>. )
2815, 22, 23, 24, 27cbvmpt2 6313 . . . 4  |-  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  <. (
u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )
298, 28eqtri 2431 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )
30 cnmpt21.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 cnmpt21.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32 txtopon 20276 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3330, 31, 32syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
34 toponuni 19612 . . . 4  |-  ( ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( J  tX  K ) )
35 mpteq1 4474 . . . 4  |-  ( ( X  X.  Y )  =  U. ( J 
tX  K )  -> 
( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( z  e. 
U. ( J  tX  K )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. ) )
3633, 34, 353syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( z  e. 
U. ( J  tX  K )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. ) )
37 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
38 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  y  e.  Y )
39 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
40 cntop2 19927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
42 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. L  =  U. L
4342toptopon 19618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
4441, 43sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
45 cnf2 19935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
4633, 44, 39, 45syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
47 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
4847fmpt2 6805 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> U. L )
4946, 48sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
50 rsp2 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  U. L ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L ) )
52513impib 1195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  U. L )
5347ovmpt4g 6362 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
5437, 38, 52, 53syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
55 cnmpt2t.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
56 cntop2 19927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
58 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. M  =  U. M
5958toptopon 19618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
6057, 59sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
61 cnf2 19935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
6233, 60, 55, 61syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
63 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
6463fmpt2 6805 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
6562, 64sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M )
66 rsp2 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  U. M ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  U. M ) )
68673impib 1195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  U. M )
6963ovmpt4g 6362 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  B  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) y )  =  B )
7037, 38, 68, 69syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y )  =  B )
7154, 70opeq12d 4166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) y ) >.  =  <. A ,  B >. )
7271mpt2eq3dva 6298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. A ,  B >. ) )
7329, 36, 723eqtr3a 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. ( J  tX  K ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. A ,  B >. ) )
74 eqid 2402 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
75 eqid 2402 . . . 4  |-  ( z  e.  U. ( J 
tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )  =  ( z  e.  U. ( J  tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )
7674, 75txcnmpt 20309 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  U. ( J  tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  ( L 
tX  M ) ) )
7739, 55, 76syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. ( J  tX  K ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
7873, 77eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   <.cop 3977   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452    X. cxp 4940   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   Topctop 19578  TopOnctopon 19579    Cn ccn 19910    tX ctx 20245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-map 7379  df-topgen 14950  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-cn 19913  df-tx 20247
This theorem is referenced by:  cnmpt22  20359  txhmeo  20488  txswaphmeo  20490  txsconlem  29418
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