MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2res 20468
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt2res.7  |-  N  =  ( Mt  W )
cnmpt2res.8  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt2res.9  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
cnmpt2res.10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, W    x, X, y    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    L( x, y)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
2 cnmpt1res.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
3 cnmpt2res.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
4 xpss12 4928 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
52, 3, 4syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
8 txtopon 20382 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
96, 7, 8syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
10 toponuni 19718 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z ) )  ->  ( X  X.  Z )  =  U. ( J  tX  M ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Z
)  =  U. ( J  tX  M ) )
125, 11sseqtrd 3477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  U. ( J  tX  M ) )
13 eqid 2402 . . . 4  |-  U. ( J  tX  M )  = 
U. ( J  tX  M )
1413cnrest 20077 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L )  /\  ( Y  X.  W )  C_  U. ( J  tX  M ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
151, 12, 14syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
16 resmpt2 6380 . . 3  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
172, 3, 16syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
18 topontop 19717 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
196, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
20 topontop 19717 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  M  e.  Top )
217, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 toponmax 19719 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
236, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
2423, 2ssexd 4540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
25 toponmax 19719 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  Z  e.  M )
267, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
2726, 3ssexd 4540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
28 txrest 20422 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  Top )  /\  ( Y  e.  _V  /\  W  e.  _V )
)  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y )  tX  ( Mt  W ) ) )
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 1231 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) ) )
30 cnmpt1res.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
31 cnmpt2res.7 . . . . 5  |-  N  =  ( Mt  W )
3230, 31oveq12i 6289 . . . 4  |-  ( K 
tX  N )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) )
3329, 32syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( K  tX  N
) )
3433oveq1d 6292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L )  =  ( ( K  tX  N )  Cn  L
) )
3515, 17, 343eltr3d 2504 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   U.cuni 4190    X. cxp 4820    |` cres 4824   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   ↾t crest 15033   Topctop 19684  TopOnctopon 19685    Cn ccn 20016    tX ctx 20351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-fin 7557  df-fi 7904  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cn 20019  df-tx 20353
This theorem is referenced by:  symgtgp  20890  submtmd  20893  iimulcn  21728  cxpcn2  23414  cxpcn3  23416  cvxscon  29527  cvmlift2lem6  29592  cvmlift2lem12  29598
  Copyright terms: Public domain W3C validator