MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2res 19910
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt2res.7  |-  N  =  ( Mt  W )
cnmpt2res.8  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt2res.9  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
cnmpt2res.10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, W    x, X, y    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    L( x, y)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
2 cnmpt1res.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
3 cnmpt2res.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
4 xpss12 5106 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
8 txtopon 19824 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
10 toponuni 19192 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z ) )  ->  ( X  X.  Z )  =  U. ( J  tX  M ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Z
)  =  U. ( J  tX  M ) )
125, 11sseqtrd 3540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  U. ( J  tX  M ) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  U. ( J  tX  M )  = 
U. ( J  tX  M )
1413cnrest 19549 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L )  /\  ( Y  X.  W )  C_  U. ( J  tX  M ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
151, 12, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
16 resmpt2 6382 . . 3  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
172, 3, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
18 topontop 19191 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
20 topontop 19191 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  M  e.  Top )
217, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 toponmax 19193 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
236, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
2423, 2ssexd 4594 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
25 toponmax 19193 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  Z  e.  M )
267, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
2726, 3ssexd 4594 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
28 txrest 19864 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  Top )  /\  ( Y  e.  _V  /\  W  e.  _V )
)  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y )  tX  ( Mt  W ) ) )
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) ) )
30 cnmpt1res.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
31 cnmpt2res.7 . . . . 5  |-  N  =  ( Mt  W )
3230, 31oveq12i 6294 . . . 4  |-  ( K 
tX  N )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) )
3329, 32syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( K  tX  N
) )
3433oveq1d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L )  =  ( ( K  tX  N )  Cn  L
) )
3515, 17, 343eltr3d 2569 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   ↾t crest 14669   Topctop 19158  TopOnctopon 19159    Cn ccn 19488    tX ctx 19793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cn 19491  df-tx 19795
This theorem is referenced by:  symgtgp  20332  submtmd  20335  iimulcn  21170  cxpcn2  22845  cxpcn3  22847  cvxscon  28325  cvmlift2lem6  28390  cvmlift2lem12  28396
  Copyright terms: Public domain W3C validator