MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2res 19262
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt2res.7  |-  N  =  ( Mt  W )
cnmpt2res.8  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt2res.9  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
cnmpt2res.10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, W    x, X, y    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    L( x, y)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
2 cnmpt1res.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
3 cnmpt2res.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
4 xpss12 4957 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
8 txtopon 19176 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
10 toponuni 18544 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z ) )  ->  ( X  X.  Z )  =  U. ( J  tX  M ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Z
)  =  U. ( J  tX  M ) )
125, 11sseqtrd 3404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  U. ( J  tX  M ) )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  U. ( J  tX  M )  = 
U. ( J  tX  M )
1413cnrest 18901 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L )  /\  ( Y  X.  W )  C_  U. ( J  tX  M ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
151, 12, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
16 resmpt2 6200 . . 3  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
172, 3, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
18 topontop 18543 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
20 topontop 18543 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  M  e.  Top )
217, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 toponmax 18545 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
236, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
2423, 2ssexd 4451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
25 toponmax 18545 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  Z  e.  M )
267, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
2726, 3ssexd 4451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
28 txrest 19216 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  Top )  /\  ( Y  e.  _V  /\  W  e.  _V )
)  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y )  tX  ( Mt  W ) ) )
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) ) )
30 cnmpt1res.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
31 cnmpt2res.7 . . . . 5  |-  N  =  ( Mt  W )
3230, 31oveq12i 6115 . . . 4  |-  ( K 
tX  N )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) )
3329, 32syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( K  tX  N
) )
3433oveq1d 6118 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L )  =  ( ( K  tX  N )  Cn  L
) )
3515, 17, 343eltr3d 2523 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   U.cuni 4103    X. cxp 4850    |` cres 4854   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   ↾t crest 14371   Topctop 18510  TopOnctopon 18511    Cn ccn 18840    tX ctx 19145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-fin 7326  df-fi 7673  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cn 18843  df-tx 19147
This theorem is referenced by:  symgtgp  19684  submtmd  19687  iimulcn  20522  cxpcn2  22196  cxpcn3  22198  cvxscon  27144  cvmlift2lem6  27209  cvmlift2lem12  27215
  Copyright terms: Public domain W3C validator