Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2plusg Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2plusg 20350
 Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 19939 which cannot be used directly because is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j
cnmpt1plusg.p
cnmpt1plusg.g TopMnd
cnmpt1plusg.k TopOn
cnmpt2plusg.l TopOn
cnmpt2plusg.a
cnmpt2plusg.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10 TopOn
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10 TopOn
3 txtopon 19855 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9 TopOn
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10 TopMnd
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11
7 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
86, 7tmdtopon 20343 . . . . . . . . . 10 TopMnd TopOn
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9
11 cnf2 19544 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
124, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . . . . . . 8
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9
1413fmpt2 6851 . . . . . . . 8
1512, 14sylibr 212 . . . . . . 7
1615r19.21bi 2833 . . . . . 6
1716r19.21bi 2833 . . . . 5
18173impa 1191 . . . 4
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9
20 cnf2 19544 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
214, 9, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . 8
22 eqid 2467 . . . . . . . . 9
2322fmpt2 6851 . . . . . . . 8
2421, 23sylibr 212 . . . . . . 7
2524r19.21bi 2833 . . . . . 6
2625r19.21bi 2833 . . . . 5
27263impa 1191 . . . 4
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5
29 eqid 2467 . . . . 5
307, 28, 29plusfval 15745 . . . 4
3118, 27, 30syl2anc 661 . . 3
3231mpt2eq3dva 6345 . 2
336, 29tmdcn 20345 . . . 4 TopMnd
345, 33syl 16 . . 3
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 19939 . 2
3632, 35eqeltrrd 2556 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   cxp 4997  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  cbs 14490   cplusg 14555  ctopn 14677  cplusf 15729  TopOnctopon 19190   ccn 19519   ctx 19824  TopMndctmd 20332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-topgen 14699  df-plusf 15733  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-tx 19826  df-tmd 20334 This theorem is referenced by:  tgpsubcn  20352  oppgtmd  20359  prdstmdd  20385  cnmpt2mulr  20448
 Copyright terms: Public domain W3C validator