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Theorem cnmpt2plusg 20457
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 20046 which cannot be used directly because  +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1plusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
cnmpt1plusg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
cnmpt1plusg.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2plusg.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2plusg.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2plusg.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .+ ( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 19962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
86, 7tmdtopon 20450 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
11 cnf2 19620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
124, 9, 10, 11syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
13 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1413fmpt2 6849 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
1512, 14sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G ) )
1615r19.21bi 2810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G )
)
1716r19.21bi 2810 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
18173impa 1190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  ( Base `  G )
)
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
20 cnf2 19620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
214, 9, 19, 20syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
22 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2322fmpt2 6849 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
2421, 23sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G ) )
2524r19.21bi 2810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G )
)
2625r19.21bi 2810 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
27263impa 1190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  ( Base `  G )
)
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
29 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
307, 28, 29plusfval 15749 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  G )  /\  B  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A ( +f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3118, 27, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( +f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3231mpt2eq3dva 6343 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( +f `  G ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) ) )
336, 29tmdcn 20452 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
345, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 20046 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( +f `  G ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
) )
3632, 35eqeltrrd 2530 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    X. cxp 4984   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   TopOpenctopn 14693   +fcplusf 15740  TopOnctopon 19265    Cn ccn 19595    tX ctx 19931  TopMndctmd 20439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-map 7421  df-topgen 14715  df-plusf 15742  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-cn 19598  df-tx 19933  df-tmd 20441
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  20459  oppgtmd  20466  prdstmdd  20492  cnmpt2mulr  20555
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