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Theorem cnmpt2plusg 20350
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 19939 which cannot be used directly because  +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1plusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
cnmpt1plusg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
cnmpt1plusg.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2plusg.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2plusg.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2plusg.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .+ ( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 19855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
86, 7tmdtopon 20343 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
11 cnf2 19544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
124, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1413fmpt2 6851 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
1512, 14sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G ) )
1615r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G )
)
1716r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
18173impa 1191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  ( Base `  G )
)
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
20 cnf2 19544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
214, 9, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
22 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2322fmpt2 6851 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
2421, 23sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G ) )
2524r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G )
)
2625r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
27263impa 1191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  ( Base `  G )
)
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
29 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
307, 28, 29plusfval 15745 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  G )  /\  B  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A ( +f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3118, 27, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( +f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3231mpt2eq3dva 6345 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( +f `  G ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) ) )
336, 29tmdcn 20345 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
345, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 19939 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( +f `  G ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
) )
3632, 35eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   TopOpenctopn 14677   +fcplusf 15729  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519    tX ctx 19824  TopMndctmd 20332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-topgen 14699  df-plusf 15733  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-tx 19826  df-tmd 20334
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  20352  oppgtmd  20359  prdstmdd  20385  cnmpt2mulr  20448
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