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Theorem cnmpt2plusg 19657
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 19246 which cannot be used directly because  +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1plusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
cnmpt1plusg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
cnmpt1plusg.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2plusg.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2plusg.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2plusg.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .+ ( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 19162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
86, 7tmdtopon 19650 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
11 cnf2 18851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
124, 9, 10, 11syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
13 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1413fmpt2 6639 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
1512, 14sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G ) )
1615r19.21bi 2812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G )
)
1716r19.21bi 2812 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
18173impa 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  ( Base `  G )
)
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
20 cnf2 18851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
214, 9, 19, 20syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
22 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2322fmpt2 6639 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
2421, 23sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G ) )
2524r19.21bi 2812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G )
)
2625r19.21bi 2812 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
27263impa 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  ( Base `  G )
)
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
29 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
307, 28, 29plusfval 15426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  G )  /\  B  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A ( +f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3118, 27, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( +f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3231mpt2eq3dva 6148 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( +f `  G ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) ) )
336, 29tmdcn 19652 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
345, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 19246 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( +f `  G ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
) )
3632, 35eqeltrrd 2516 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713    X. cxp 4836   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   TopOpenctopn 14358   +fcplusf 15410  TopOnctopon 18497    Cn ccn 18826    tX ctx 19131  TopMndctmd 19639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-map 7214  df-topgen 14380  df-plusf 15414  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cn 18829  df-tx 19133  df-tmd 19641
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  19659  oppgtmd  19666  prdstmdd  19692  cnmpt2mulr  19755
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