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Theorem cnmpt2pc 18906
Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt2pc.m  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cnmpt2pc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cnmpt2pc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2pc.q  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
cnmpt2pc.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
cnmpt2pc.e  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, K, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    J( x, y)    M( x, y)    N( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . 2  |-  U. ( O  tX  J )  = 
U. ( O  tX  J )
2 eqid 2404 . 2  |-  U. K  =  U. K
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 iccssre 10948 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
86, 7sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9 icccld 18754 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
103, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
1211fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  R )  =  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1310, 12syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  R ) )
14 ssun1 3470 . . . . . 6  |-  ( A [,] B )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
15 iccsplit 10985 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
163, 4, 7, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
1714, 16syl5sseqr 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C ) )
18 uniretop 18749 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1911unieqi 3985 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2018, 19eqtr4i 2427 . . . . . 6  |-  RR  =  U. R
2120restcldi 17191 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( A [,] B )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
226, 13, 17, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
23 cnmpt2pc.o . . . . 5  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
2423fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( Clsd `  O )  =  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) )
2522, 24syl6eleqr 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O ) )
26 cnmpt2pc.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
27 toponuni 16947 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
29 topontop 16946 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
30 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
3130topcld 17054 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  ( Clsd `  J
) )
3226, 29, 313syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  (
Clsd `  J )
)
3328, 32eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
34 txcld 17588 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A [,] B
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
3525, 33, 34syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
36 icccld 18754 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
378, 4, 36syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3837, 12syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  R ) )
39 ssun2 3471 . . . . . 6  |-  ( B [,] C )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
4039, 16syl5sseqr 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C ) )
4120restcldi 17191 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( B [,] C )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( B [,] C )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( B [,] C )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
426, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
4342, 24syl6eleqr 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O ) )
44 txcld 17588 . . 3  |-  ( ( ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( B [,] C
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
4543, 33, 44syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B [,] C )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
4616xpeq1d 4860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X ) )
47 xpundir 4890 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )
4846, 47syl6eq 2452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  X )  u.  ( ( B [,] C )  X.  X ) ) )
49 retopon 18750 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
5011, 49eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  R  e.  (TopOn `  RR )
51 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5250, 6, 51sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5323, 52syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
54 txtopon 17576 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
5553, 26, 54syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
56 toponuni 16947 . . . 4  |-  ( ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  (
( A [,] C
)  X.  X ) )  ->  ( ( A [,] C )  X.  X )  =  U. ( O  tX  J ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  U. ( O  tX  J ) )
5848, 57eqtr3d 2438 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )  =  U. ( O  tX  J ) )
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
6017, 6sstrd 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
61 resttopon 17179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6250, 60, 61sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6359, 62syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
64 txtopon 17576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( M  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
6563, 26, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
67 cntop2 17259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
692toptopon 16953 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7068, 69sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
71 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
723, 8, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
7372biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
7473simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
75743adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  x  <_  B )
76 iftrue 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  D )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  D )
7877mpt2eq3dva 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D ) )
7978, 66eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
80 cnf2 17267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X ) --> U. K )
8165, 70, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
82 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
8382fmpt2 6377 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
8481, 83sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
85 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
8640, 6sstrd 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
87 resttopon 17179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( B [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8850, 86, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8985, 88syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
90 txtopon 17576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( N  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
9189, 26, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
92 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
938, 4, 92syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
9493biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C
) )
9594simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  <_  x )
9695biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
9794simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  x  e.  RR )
988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  e.  RR )
9997, 98letri3d 9171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  =  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
10096, 99bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
1011003adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
102 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
103102ancom2s 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  D  =  E )
104103ifeq1d 3713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  if ( x  <_  B ,  E ,  E ) )
105 ifid 3731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( x  <_  B ,  E ,  E )  =  E
106104, 105syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
107106expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
1081073adant2 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
109101, 108sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
110 iffalse 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
111109, 110pm2.61d1 153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
112111mpt2eq3dva 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E ) )
113 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
114112, 113eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
115 cnf2 17267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X ) --> U. K )
11691, 70, 114, 115syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
117 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
118117fmpt2 6377 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
119116, 118sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
120 ralun 3489 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  /\  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )  ->  A. x  e.  (
( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12184, 119, 120syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12216raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A [,] C
) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K 
<-> 
A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K ) )
123121, 122mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
124 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
125124fmpt2 6377 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
126123, 125sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
12757feq2d 5540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
) )
128126, 127mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
)
129 ssid 3327 . . . 4  |-  X  C_  X
130 resmpt2 6127 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
13117, 129, 130sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
132 retop 18748 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
13311, 132eqeltri 2474 . . . . . . . . 9  |-  R  e. 
Top
134 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( A [,] C )  e. 
_V
135 resttop 17178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] C )  e.  _V )  -> 
( Rt  ( A [,] C ) )  e. 
Top )
136133, 134, 135mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  Top
13723, 136eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  O  e. 
Top
138137a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Top )
139 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
140139a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  _V )
141 txrest 17616 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( A [,] B )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
142138, 26, 140, 33, 141syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
143133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
144134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  e.  _V )
145 restabs 17183 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] B ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
146143, 17, 144, 145syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
14723oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( A [,] B ) )
148146, 147, 593eqtr4g 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  M )
14928oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  ( Jt 
U. J ) )
15030restid 13616 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Jt  U. J
)  =  J )
15126, 150syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
152149, 151eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  J )
153148, 152oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( M 
tX  J ) )
154142, 153eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( M  tX  J
) )
155154oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
15679, 131, 1553eltr4d 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K ) )
157 resmpt2 6127 . . . 4  |-  ( ( ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
15840, 129, 157sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
159 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( B [,] C )  e. 
_V
160159a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  _V )
161 txrest 17616 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( B [,] C )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
162138, 26, 160, 33, 161syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
163 restabs 17183 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( B [,] C ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
164143, 40, 144, 163syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
16523oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( B [,] C ) )
166164, 165, 853eqtr4g 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  N )
167166, 152oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( N 
tX  J ) )
168162, 167eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( N  tX  J
) )
169168oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
170114, 158, 1693eltr4d 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K ) )
1711, 2, 35, 45, 58, 128, 156, 170paste 17312 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   RRcr 8945    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ↾t crest 13603   topGenctg 13620   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035    Cn ccn 17242    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  htpycc  18958  pcocn  18995  pcohtpylem  18997  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcoass  19002  pcorevlem  19004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cn 17245  df-tx 17547
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