Proof of Theorem cnmpt2pc
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2453 |
. 2
       |
2 | | eqid 2453 |
. 2
   |
3 | | cnmpt2pc.a |
. . . . . 6
   |
4 | | cnmpt2pc.c |
. . . . . 6
   |
5 | | iccssre 11723 |
. . . . . 6
 
   ![[,] [,]](_icc.gif) 
  |
6 | 3, 4, 5 | syl2anc 667 |
. . . . 5
   ![[,] [,]](_icc.gif) 
  |
7 | | cnmpt2pc.b |
. . . . . . . 8
   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
8 | 6, 7 | sseldd 3435 |
. . . . . . 7
   |
9 | | icccld 21799 |
. . . . . . 7
 
   ![[,] [,]](_icc.gif)            |
10 | 3, 8, 9 | syl2anc 667 |
. . . . . 6
   ![[,] [,]](_icc.gif)            |
11 | | cnmpt2pc.r |
. . . . . . 7
     |
12 | 11 | fveq2i 5873 |
. . . . . 6
             |
13 | 10, 12 | syl6eleqr 2542 |
. . . . 5
   ![[,] [,]](_icc.gif)        |
14 | | ssun1 3599 |
. . . . . 6
  ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)    |
15 | | iccsplit 11772 |
. . . . . . 7
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)     |
16 | 3, 4, 7, 15 | syl3anc 1269 |
. . . . . 6
   ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)     |
17 | 14, 16 | syl5sseqr 3483 |
. . . . 5
   ![[,] [,]](_icc.gif) 
  ![[,] [,]](_icc.gif)    |
18 | | uniretop 21795 |
. . . . . . 7
      |
19 | 11 | unieqi 4210 |
. . . . . . 7
       |
20 | 18, 19 | eqtr4i 2478 |
. . . . . 6
  |
21 | 20 | restcldi 20201 |
. . . . 5
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
  ![[,] [,]](_icc.gif)     
  ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)      ↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)      |
22 | 6, 13, 17, 21 | syl3anc 1269 |
. . . 4
   ![[,] [,]](_icc.gif)     
↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)      |
23 | | cnmpt2pc.o |
. . . . 5

↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
24 | 23 | fveq2i 5873 |
. . . 4
        ↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
25 | 22, 24 | syl6eleqr 2542 |
. . 3
   ![[,] [,]](_icc.gif)        |
26 | | cnmpt2pc.j |
. . . . 5
 TopOn    |
27 | | toponuni 19954 |
. . . . 5
 TopOn 
   |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . 4
    |
29 | | topontop 19953 |
. . . . 5
 TopOn 
  |
30 | | eqid 2453 |
. . . . . 6
   |
31 | 30 | topcld 20062 |
. . . . 5
        |
32 | 26, 29, 31 | 3syl 18 |
. . . 4
        |
33 | 28, 32 | eqeltrd 2531 |
. . 3
       |
34 | | txcld 20630 |
. . 3
    ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)           |
35 | 25, 33, 34 | syl2anc 667 |
. 2
    ![[,] [,]](_icc.gif)           |
36 | | icccld 21799 |
. . . . . . 7
 
   ![[,] [,]](_icc.gif)            |
37 | 8, 4, 36 | syl2anc 667 |
. . . . . 6
   ![[,] [,]](_icc.gif)            |
38 | 37, 12 | syl6eleqr 2542 |
. . . . 5
   ![[,] [,]](_icc.gif)        |
39 | | ssun2 3600 |
. . . . . 6
  ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)    |
40 | 39, 16 | syl5sseqr 3483 |
. . . . 5
   ![[,] [,]](_icc.gif) 
  ![[,] [,]](_icc.gif)    |
41 | 20 | restcldi 20201 |
. . . . 5
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
  ![[,] [,]](_icc.gif)     
  ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)     ![[,] [,]](_icc.gif)      ↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)      |
42 | 6, 38, 40, 41 | syl3anc 1269 |
. . . 4
   ![[,] [,]](_icc.gif)     
↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)      |
43 | 42, 24 | syl6eleqr 2542 |
. . 3
   ![[,] [,]](_icc.gif)        |
44 | | txcld 20630 |
. . 3
    ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)           |
45 | 43, 33, 44 | syl2anc 667 |
. 2
    ![[,] [,]](_icc.gif)           |
46 | 16 | xpeq1d 4860 |
. . . 4
    ![[,] [,]](_icc.gif)       ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
47 | | xpundir 4891 |
. . . 4
    ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)        ![[,] [,]](_icc.gif)      ![[,] [,]](_icc.gif)     |
48 | 46, 47 | syl6eq 2503 |
. . 3
    ![[,] [,]](_icc.gif)       ![[,] [,]](_icc.gif)      ![[,] [,]](_icc.gif)      |
49 | | retopon 21796 |
. . . . . . . 8
    TopOn   |
50 | 11, 49 | eqeltri 2527 |
. . . . . . 7
TopOn   |
51 | | resttopon 20189 |
. . . . . . 7
  TopOn 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
 ↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
52 | 50, 6, 51 | sylancr 670 |
. . . . . 6
 
↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
53 | 23, 52 | syl5eqel 2535 |
. . . . 5
 TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
54 | | txtopon 20618 |
. . . . 5
  TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn  
  TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
55 | 53, 26, 54 | syl2anc 667 |
. . . 4
   TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
56 | | toponuni 19954 |
. . . 4
   TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)   
   ![[,] [,]](_icc.gif)    
   |
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . 3
    ![[,] [,]](_icc.gif)        |
58 | 48, 57 | eqtr3d 2489 |
. 2
     ![[,] [,]](_icc.gif)      ![[,] [,]](_icc.gif)         |
59 | | cnmpt2pc.m |
. . . . . . . . . 10

↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
60 | 17, 6 | sstrd 3444 |
. . . . . . . . . . 11
   ![[,] [,]](_icc.gif) 
  |
61 | | resttopon 20189 |
. . . . . . . . . . 11
  TopOn 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
 ↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
62 | 50, 60, 61 | sylancr 670 |
. . . . . . . . . 10
 
↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
63 | 59, 62 | syl5eqel 2535 |
. . . . . . . . 9
 TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
64 | | txtopon 20618 |
. . . . . . . . 9
  TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn  
  TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
65 | 63, 26, 64 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
   TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
66 | | cnmpt2pc.d |
. . . . . . . . . 10
    ![[,] [,]](_icc.gif)          |
67 | | cntop2 20269 |
. . . . . . . . . 10
    ![[,] [,]](_icc.gif)       
  |
68 | 66, 67 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
   |
69 | 2 | toptopon 19960 |
. . . . . . . . 9

TopOn     |
70 | 68, 69 | sylib 200 |
. . . . . . . 8
 TopOn     |
71 | | elicc2 11706 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
    ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
72 | 3, 8, 71 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
73 | 72 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
74 | 73 | simp3d 1023 |
. . . . . . . . . . . 12
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
75 | 74 | 3adant3 1029 |
. . . . . . . . . . 11
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
76 | 75 | iftrued 3891 |
. . . . . . . . . 10
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
 
 
   |
77 | 76 | mpt2eq3dva 6360 |
. . . . . . . . 9
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
      ![[,] [,]](_icc.gif)      |
78 | 77, 66 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . . 8
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
         |
79 | | cnf2 20277 |
. . . . . . . 8
    TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)    TopOn      ![[,] [,]](_icc.gif)                 ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)        |
80 | 65, 70, 78, 79 | syl3anc 1269 |
. . . . . . 7
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
        ![[,] [,]](_icc.gif)        |
81 | | eqid 2453 |
. . . . . . . 8
   ![[,] [,]](_icc.gif)    
 
     ![[,] [,]](_icc.gif)    
 
   |
82 | 81 | fmpt2 6865 |
. . . . . . 7
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)   
 
 
 
   ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)        |
83 | 80, 82 | sylibr 216 |
. . . . . 6
    ![[,] [,]](_icc.gif)            |
84 | | cnmpt2pc.n |
. . . . . . . . . 10

↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
85 | 40, 6 | sstrd 3444 |
. . . . . . . . . . 11
   ![[,] [,]](_icc.gif) 
  |
86 | | resttopon 20189 |
. . . . . . . . . . 11
  TopOn 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
 ↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
87 | 50, 85, 86 | sylancr 670 |
. . . . . . . . . 10
 
↾t   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
88 | 84, 87 | syl5eqel 2535 |
. . . . . . . . 9
 TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)     |
89 | | txtopon 20618 |
. . . . . . . . 9
  TopOn   ![[,] [,]](_icc.gif)   TopOn  
  TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
90 | 88, 26, 89 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
   TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)      |
91 | | elicc2 11706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
    ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
92 | 8, 4, 91 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
    ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
93 | 92 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
94 | 93 | simp2d 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
95 | 94 | biantrud 510 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
      |
96 | 93 | simp1d 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
97 | 8 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
98 | 96, 97 | letri3d 9782 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

     |
99 | 95, 98 | bitr4d 260 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
100 | 99 | 3adant3 1029 |
. . . . . . . . . . . 12
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
101 | | cnmpt2pc.q |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

 
  |
102 | 101 | ancom2s 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

 
  |
103 | 102 | ifeq1d 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

              |
104 | | ifid 3920 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
 
  |
105 | 103, 104 | syl6eq 2503 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

         |
106 | 105 | expr 620 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
          |
107 | 106 | 3adant2 1028 |
. . . . . . . . . . . 12
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

 
 
    |
108 | 100, 107 | sylbid 219 |
. . . . . . . . . . 11
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

 
 
    |
109 | | iffalse 3892 |
. . . . . . . . . . 11

       |
110 | 108, 109 | pm2.61d1 163 |
. . . . . . . . . 10
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
 
 
   |
111 | 110 | mpt2eq3dva 6360 |
. . . . . . . . 9
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
      ![[,] [,]](_icc.gif)      |
112 | | cnmpt2pc.e |
. . . . . . . . 9
    ![[,] [,]](_icc.gif)          |
113 | 111, 112 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . . 8
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
         |
114 | | cnf2 20277 |
. . . . . . . 8
    TopOn    ![[,] [,]](_icc.gif)    TopOn      ![[,] [,]](_icc.gif)                 ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)        |
115 | 90, 70, 113, 114 | syl3anc 1269 |
. . . . . . 7
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
        ![[,] [,]](_icc.gif)        |
116 | | eqid 2453 |
. . . . . . . 8
   ![[,] [,]](_icc.gif)    
 
     ![[,] [,]](_icc.gif)    
 
   |
117 | 116 | fmpt2 6865 |
. . . . . . 7
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)   
 
 
 
   ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)        |
118 | 115, 117 | sylibr 216 |
. . . . . 6
    ![[,] [,]](_icc.gif)            |
119 | | ralun 3618 |
. . . . . 6
     ![[,] [,]](_icc.gif)             ![[,] [,]](_icc.gif)   
 
 
   
   ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)             |
120 | 83, 118, 119 | syl2anc 667 |
. . . . 5
     ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)             |
121 | 16 | raleqdv 2995 |
. . . . 5
     ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)    ![[,] [,]](_icc.gif)              |
122 | 120, 121 | mpbird 236 |
. . . 4
    ![[,] [,]](_icc.gif)            |
123 | | eqid 2453 |
. . . . 5
   ![[,] [,]](_icc.gif)    
 
     ![[,] [,]](_icc.gif)    
 
   |
124 | 123 | fmpt2 6865 |
. . . 4
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)   
 
 
 
   ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)        |
125 | 122, 124 | sylib 200 |
. . 3
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
        ![[,] [,]](_icc.gif)        |
126 | 57 | feq2d 5720 |
. . 3
     ![[,] [,]](_icc.gif)              ![[,] [,]](_icc.gif)     
   ![[,] [,]](_icc.gif)                    |
127 | 125, 126 | mpbid 214 |
. 2
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
             |
128 | | ssid 3453 |
. . . 4
 |
129 | | resmpt2 6399 |
. . . 4
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
  ![[,] [,]](_icc.gif)       ![[,] [,]](_icc.gif)     
      ![[,] [,]](_icc.gif)       ![[,] [,]](_icc.gif)           |
130 | 17, 128, 129 | sylancl 669 |
. . 3
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 TopOn 
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1
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