Theorem cnmpt2pc 22034

Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt2pc.r	|- R = ( topGen ` ran (,) )
cnmpt2pc.m	|- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n	|- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o	|- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a	|- ( ph -> A e. RR )
cnmpt2pc.c	|- ( ph -> C e. RR )
cnmpt2pc.b	|- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt2pc.q	|- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
cnmpt2pc.d	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
cnmpt2pc.e	|- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2pc	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, K, y   ph, x, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   R( x, y)   E( x, y)   J( x, y)   M( x, y)   N( x, y)   O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. 2 |- U. ( O tX J ) = U. ( O tX J )
2		eqid 2471	. 2 |- U. K = U. K
3		cnmpt2pc.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		cnmpt2pc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
5		iccssre 11741	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
7		cnmpt2pc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
8	6, 7	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
9		icccld 21865	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
11		cnmpt2pc.r	. . . . . . 7 |- R = ( topGen ` ran (,) )
12	11	fveq2i 5882	. . . . . 6 |- ( Clsd ` R ) = ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) )
13	10, 12	syl6eleqr 2560	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) )
14		ssun1 3588	. . . . . 6 |- ( A [,] B ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
15		iccsplit 11791	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. ( A [,] C ) ) -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
16	3, 4, 7, 15	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
17	14, 16	syl5sseqr 3467	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) )
18		uniretop 21861	. . . . . . 7 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
19	11	unieqi 4199	. . . . . . 7 |- U. R = U. ( topGen ` ran (,) )
20	18, 19	eqtr4i 2496	. . . . . 6 |- RR = U. R
21	20	restcldi 20266	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
22	6, 13, 17, 21	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
23		cnmpt2pc.o	. . . . 5 |- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
24	23	fveq2i 5882	. . . 4 |- ( Clsd ` O ) = ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) )
25	22, 24	syl6eleqr 2560	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) )
26		cnmpt2pc.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
27		toponuni 20019	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
29		topontop 20018	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
30		eqid 2471	. . . . . 6 |- U. J = U. J
31	30	topcld 20127	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
32	26, 29, 31	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
33	28, 32	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Clsd ` J ) )
34		txcld 20695	. . 3 |- ( ( ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
35	25, 33, 34	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
36		icccld 21865	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
37	8, 4, 36	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
38	37, 12	syl6eleqr 2560	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) )
39		ssun2 3589	. . . . . 6 |- ( B [,] C ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
40	39, 16	syl5sseqr 3467	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) )
41	20	restcldi 20266	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
42	6, 38, 40, 41	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
43	42, 24	syl6eleqr 2560	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) )
44		txcld 20695	. . 3 |- ( ( ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
45	43, 33, 44	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
46	16	xpeq1d 4862	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) )
47		xpundir 4893	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) )
48	46, 47	syl6eq 2521	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
49		retopon 21862	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
50	11, 49	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- R e. (TopOn ` RR )
51		resttopon 20254	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
52	50, 6, 51	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
53	23, 52	syl5eqel 2553	. . . . 5 |- ( ph -> O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
54		txtopon 20683	. . . . 5 |- ( ( O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
55	53, 26, 54	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
56		toponuni 20019	. . . 4 |- ( ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
57	55, 56	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
58	48, 57	eqtr3d 2507	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) = U. ( O tX J ) )
59		cnmpt2pc.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
60	17, 6	sstrd 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
61		resttopon 20254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] B ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
62	50, 60, 61	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
63	59, 62	syl5eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
64		txtopon 20683	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
65	63, 26, 64	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
66		cnmpt2pc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
67		cntop2 20334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) -> K e. Top )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
69	2	toptopon 20025	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
70	68, 69	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
71		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
72	3, 8, 71	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
73	72	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
74	73	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
75	74	3adant3 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> x <_ B )
76	75	iftrued 3880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
77	76	mpt2eq3dva 6374	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) )
78	77, 66	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
79		cnf2 20342	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
80	65, 70, 78, 79	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
81		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
82	81	fmpt2 6879	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
83	80, 82	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
84		cnmpt2pc.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
85	40, 6	sstrd 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
86		resttopon 20254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( B [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
87	50, 85, 86	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
88	84, 87	syl5eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
89		txtopon 20683	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
90	88, 26, 89	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
91		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
92	8, 4, 91	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
93	92	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
94	93	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
95	94	biantrud 515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
96	93	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> x e. RR )
97	8	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B e. RR )
98	96, 97	letri3d 9794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x = B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
99	95, 98	bitr4d 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
100	99	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
101		cnmpt2pc.q	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
102	101	ancom2s 819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> D = E )
103	102	ifeq1d 3890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = if ( x <_ B , E , E ) )
104		ifid 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( x <_ B , E , E ) = E
105	103, 104	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
106	105	expr 626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
107	106	3adant2 1049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
108	100, 107	sylbid 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
109		iffalse 3881	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
110	108, 109	pm2.61d1 164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
111	110	mpt2eq3dva 6374	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) )
112		cnmpt2pc.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
113	111, 112	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
114		cnf2 20342	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
115	90, 70, 113, 114	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
116		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
117	116	fmpt2 6879	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
118	115, 117	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
119		ralun 3607	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K /\ A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
120	83, 118, 119	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
121	16	raleqdv 2979	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) )
122	120, 121	mpbird 240	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
123		eqid 2471	. . . . 5 |- ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
124	123	fmpt2 6879	. . . 4 |- ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
125	122, 124	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
126	57	feq2d 5725	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K ) )
127	125, 126	mpbid 215	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K )
128		ssid 3437	. . . 4 |- X C_ X
129		resmpt2 6413	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
130	17, 128, 129	sylancl 675	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
131		retop 21860	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
132	11, 131	eqeltri 2545	. . . . . . . . 9 |- R e. Top
133		ovex 6336	. . . . . . . . 9 |- ( A [,] C ) e. _V
134		resttop 20253	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top )
135	132, 133, 134	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top
136	23, 135	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- O e. Top
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. Top )
138		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( A [,] B ) e. _V
139	138	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. _V )
140		txrest 20723	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( A [,] B ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
141	137, 26, 139, 33, 140	syl22anc 1293	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
142	132	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
143	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] C ) e. _V )
144		restabs 20258	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
145	142, 17, 143, 144	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
146	23	oveq1i 6318	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( A [,] B ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) )
147	145, 146, 59	3eqtr4g 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( A [,] B ) ) = M )
148	28	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = ( J ↾t U. J ) )
149	30	restid 15410	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J ↾t U. J ) = J )
150	26, 149	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t U. J ) = J )
151	148, 150	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = J )
152	147, 151	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( M tX J ) )
153	141, 152	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( M tX J ) )
154	153	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( M tX J ) Cn K ) )
155	78, 130, 154	3eltr4d 2564	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) )
156		resmpt2 6413	. . . 4 |- ( ( ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
157	40, 128, 156	sylancl 675	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
158		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( B [,] C ) e. _V
159	158	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. _V )
160		txrest 20723	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( B [,] C ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
161	137, 26, 159, 33, 160	syl22anc 1293	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
162		restabs 20258	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
163	142, 40, 143, 162	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
164	23	oveq1i 6318	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( B [,] C ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) )
165	163, 164, 84	3eqtr4g 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( B [,] C ) ) = N )
166	165, 151	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( N tX J ) )
167	161, 166	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( N tX J ) )
168	167	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( N tX J ) Cn K ) )
169	113, 157, 168	3eltr4d 2564	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) )
170	1, 2, 35, 45, 58, 127, 155, 169	paste 20387	1 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   RRcr 9556   <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ↾_t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108   Cn ccn 20317   tX ctx 20652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-tx 20654

This theorem is referenced by:  htpycc  22089  pcocn  22126  pcohtpylem  22128  pcopt  22131  pcopt2  22132  pcoass  22133  pcorevlem  22135