Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2pc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnmpt2pc 22034
 Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r
cnmpt2pc.m t
cnmpt2pc.n t
cnmpt2pc.o t
cnmpt2pc.a
cnmpt2pc.c
cnmpt2pc.b
cnmpt2pc.j TopOn
cnmpt2pc.q
cnmpt2pc.d
cnmpt2pc.e
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2
2 eqid 2471 . 2
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6
5 iccssre 11741 . . . . . 6
63, 4, 5syl2anc 673 . . . . 5
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8
86, 7sseldd 3419 . . . . . . 7
9 icccld 21865 . . . . . . 7
103, 8, 9syl2anc 673 . . . . . 6
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7
1211fveq2i 5882 . . . . . 6
1310, 12syl6eleqr 2560 . . . . 5
14 ssun1 3588 . . . . . 6
15 iccsplit 11791 . . . . . . 7
163, 4, 7, 15syl3anc 1292 . . . . . 6
1714, 16syl5sseqr 3467 . . . . 5
18 uniretop 21861 . . . . . . 7
1911unieqi 4199 . . . . . . 7
2018, 19eqtr4i 2496 . . . . . 6
2120restcldi 20266 . . . . 5 t
226, 13, 17, 21syl3anc 1292 . . . 4 t
23 cnmpt2pc.o . . . . 5 t
2423fveq2i 5882 . . . 4 t
2522, 24syl6eleqr 2560 . . 3
26 cnmpt2pc.j . . . . 5 TopOn
27 toponuni 20019 . . . . 5 TopOn
2826, 27syl 17 . . . 4
29 topontop 20018 . . . . 5 TopOn
30 eqid 2471 . . . . . 6
3130topcld 20127 . . . . 5
3226, 29, 313syl 18 . . . 4
3328, 32eqeltrd 2549 . . 3
34 txcld 20695 . . 3
3525, 33, 34syl2anc 673 . 2
36 icccld 21865 . . . . . . 7
378, 4, 36syl2anc 673 . . . . . 6
3837, 12syl6eleqr 2560 . . . . 5
39 ssun2 3589 . . . . . 6
4039, 16syl5sseqr 3467 . . . . 5
4120restcldi 20266 . . . . 5 t
426, 38, 40, 41syl3anc 1292 . . . 4 t
4342, 24syl6eleqr 2560 . . 3
44 txcld 20695 . . 3
4543, 33, 44syl2anc 673 . 2
4616xpeq1d 4862 . . . 4
47 xpundir 4893 . . . 4
4846, 47syl6eq 2521 . . 3
49 retopon 21862 . . . . . . . 8 TopOn
5011, 49eqeltri 2545 . . . . . . 7 TopOn
51 resttopon 20254 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
5250, 6, 51sylancr 676 . . . . . 6 t TopOn
5323, 52syl5eqel 2553 . . . . 5 TopOn
54 txtopon 20683 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
5553, 26, 54syl2anc 673 . . . 4 TopOn
56 toponuni 20019 . . . 4 TopOn
5755, 56syl 17 . . 3
5848, 57eqtr3d 2507 . 2
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10 t
6017, 6sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11
61 resttopon 20254 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
6250, 60, 61sylancr 676 . . . . . . . . . 10 t TopOn
6359, 62syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9 TopOn
64 txtopon 20683 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
6563, 26, 64syl2anc 673 . . . . . . . 8 TopOn
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10
67 cntop2 20334 . . . . . . . . . 10
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9
692toptopon 20025 . . . . . . . . 9 TopOn
7068, 69sylib 201 . . . . . . . 8 TopOn
71 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . 15
723, 8, 71syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
7372biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13
7473simp3d 1044 . . . . . . . . . . . 12
75743adant3 1050 . . . . . . . . . . 11
7675iftrued 3880 . . . . . . . . . 10
7776mpt2eq3dva 6374 . . . . . . . . 9
7877, 66eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
79 cnf2 20342 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
8065, 70, 78, 79syl3anc 1292 . . . . . . 7
81 eqid 2471 . . . . . . . 8
8281fmpt2 6879 . . . . . . 7
8380, 82sylibr 217 . . . . . 6
84 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10 t
8540, 6sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11
86 resttopon 20254 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
8750, 85, 86sylancr 676 . . . . . . . . . 10 t TopOn
8884, 87syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9 TopOn
89 txtopon 20683 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
9088, 26, 89syl2anc 673 . . . . . . . 8 TopOn
91 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
928, 4, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594biantrud 515 . . . . . . . . . . . . . 14
9693simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . 15
978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
9896, 97letri3d 9794 . . . . . . . . . . . . . 14
9995, 98bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . 13
100993adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12
101 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102ifeq1d 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 ifid 3909 . . . . . . . . . . . . . . 15
105103, 104syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14
106105expr 626 . . . . . . . . . . . . 13
1071063adant2 1049 . . . . . . . . . . . 12
108100, 107sylbid 223 . . . . . . . . . . 11
109 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11
110108, 109pm2.61d1 164 . . . . . . . . . 10
111110mpt2eq3dva 6374 . . . . . . . . 9
112 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9
113111, 112eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
114 cnf2 20342 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
11590, 70, 113, 114syl3anc 1292 . . . . . . 7
116 eqid 2471 . . . . . . . 8
117116fmpt2 6879 . . . . . . 7
118115, 117sylibr 217 . . . . . 6
119 ralun 3607 . . . . . 6
12083, 118, 119syl2anc 673 . . . . 5
12116raleqdv 2979 . . . . 5
122120, 121mpbird 240 . . . 4
123 eqid 2471 . . . . 5
124123fmpt2 6879 . . . 4
125122, 124sylib 201 . . 3
12657feq2d 5725 . . 3
127125, 126mpbid 215 . 2
128 ssid 3437 . . . 4
129 resmpt2 6413 . . . 4
13017, 128, 129sylancl 675 . . 3
131 retop 21860 . . . . . . . . . 10
13211, 131eqeltri 2545 . . . . . . . . 9
133 ovex 6336 . . . . . . . . 9
134 resttop 20253 . . . . . . . . 9 t
135132, 133, 134mp2an 686 . . . . . . . 8 t
13623, 135eqeltri 2545 . . . . . . 7
137136a1i 11 . . . . . 6
138 ovex 6336 . . . . . . 7
139138a1i 11 . . . . . 6
140 txrest 20723 . . . . . 6 TopOn t t t
141137, 26, 139, 33, 140syl22anc 1293 . . . . 5 t t t
142132a1i 11 . . . . . . . 8
143133a1i 11 . . . . . . . 8
144 restabs 20258 . . . . . . . 8 t t t
145142, 17, 143, 144syl3anc 1292 . . . . . . 7 t t t
14623oveq1i 6318 . . . . . . 7 t t t
147145, 146, 593eqtr4g 2530 . . . . . 6 t
14828oveq2d 6324 . . . . . . 7 t t
14930restid 15410 . . . . . . . 8 TopOn t
15026, 149syl 17 . . . . . . 7 t
151148, 150eqtrd 2505 . . . . . 6 t
152147, 151oveq12d 6326 . . . . 5 t t
153141, 152eqtrd 2505 . . . 4 t
154153oveq1d 6323 . . 3 t
15578, 130, 1543eltr4d 2564 . 2 t
156 resmpt2 6413 . . . 4
15740, 128, 156sylancl 675 . . 3
158 ovex 6336 . . . . . . 7
159158a1i 11 . . . . . 6
160 txrest 20723 . . . . . 6 TopOn t t t
161137, 26, 159, 33, 160syl22anc 1293 . . . . 5 t t t
162 restabs 20258 . . . . . . . 8 t t t
163142, 40, 143, 162syl3anc 1292 . . . . . . 7 t t t
16423oveq1i 6318 . . . . . . 7 t t t
165163, 164, 843eqtr4g 2530 . . . . . 6 t
166165, 151oveq12d 6326 . . . . 5 t t
167161, 166eqtrd 2505 . . . 4 t
168167oveq1d 6323 . . 3 t
169113, 157, 1683eltr4d 2564 . 2 t
1701, 2, 35, 45, 58, 127, 155, 169paste 20387 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cun 3388   wss 3390  cif 3872  cuni 4190   class class class wbr 4395   cxp 4837   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cr 9556   cle 9694  cioo 11660  cicc 11663   ↾t crest 15397  ctg 15414  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccld 20108   ccn 20317   ctx 20652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-tx 20654 This theorem is referenced by:  htpycc  22089  pcocn  22126  pcohtpylem  22128  pcopt  22131  pcopt2  22132  pcoass  22133  pcorevlem  22135
 Copyright terms: Public domain W3C validator