Theorem cnmpt2pc 20505

Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt2pc.r	|- R = ( topGen ` ran (,) )
cnmpt2pc.m	|- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n	|- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o	|- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a	|- ( ph -> A e. RR )
cnmpt2pc.c	|- ( ph -> C e. RR )
cnmpt2pc.b	|- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt2pc.q	|- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
cnmpt2pc.d	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
cnmpt2pc.e	|- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2pc	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, K, y   ph, x, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   R( x, y)   E( x, y)   J( x, y)   M( x, y)   N( x, y)   O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. 2 |- U. ( O tX J ) = U. ( O tX J )
2		eqid 2443	. 2 |- U. K = U. K
3		cnmpt2pc.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		cnmpt2pc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
5		iccssre 11382	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
7		cnmpt2pc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
8	6, 7	sseldd 3362	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
9		icccld 20351	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
11		cnmpt2pc.r	. . . . . . 7 |- R = ( topGen ` ran (,) )
12	11	fveq2i 5699	. . . . . 6 |- ( Clsd ` R ) = ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) )
13	10, 12	syl6eleqr 2534	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) )
14		ssun1 3524	. . . . . 6 |- ( A [,] B ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
15		iccsplit 11423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. ( A [,] C ) ) -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
16	3, 4, 7, 15	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
17	14, 16	syl5sseqr 3410	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) )
18		uniretop 20346	. . . . . . 7 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
19	11	unieqi 4105	. . . . . . 7 |- U. R = U. ( topGen ` ran (,) )
20	18, 19	eqtr4i 2466	. . . . . 6 |- RR = U. R
21	20	restcldi 18782	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
22	6, 13, 17, 21	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
23		cnmpt2pc.o	. . . . 5 |- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
24	23	fveq2i 5699	. . . 4 |- ( Clsd ` O ) = ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) )
25	22, 24	syl6eleqr 2534	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) )
26		cnmpt2pc.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
27		toponuni 18537	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
29		topontop 18536	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
30		eqid 2443	. . . . . 6 |- U. J = U. J
31	30	topcld 18644	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
32	26, 29, 31	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
33	28, 32	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Clsd ` J ) )
34		txcld 19181	. . 3 |- ( ( ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
35	25, 33, 34	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
36		icccld 20351	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
37	8, 4, 36	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
38	37, 12	syl6eleqr 2534	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) )
39		ssun2 3525	. . . . . 6 |- ( B [,] C ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
40	39, 16	syl5sseqr 3410	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) )
41	20	restcldi 18782	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
42	6, 38, 40, 41	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
43	42, 24	syl6eleqr 2534	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) )
44		txcld 19181	. . 3 |- ( ( ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
45	43, 33, 44	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
46	16	xpeq1d 4868	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) )
47		xpundir 4897	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) )
48	46, 47	syl6eq 2491	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
49		retopon 20347	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
50	11, 49	eqeltri 2513	. . . . . . 7 |- R e. (TopOn ` RR )
51		resttopon 18770	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
52	50, 6, 51	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
53	23, 52	syl5eqel 2527	. . . . 5 |- ( ph -> O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
54		txtopon 19169	. . . . 5 |- ( ( O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
55	53, 26, 54	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
56		toponuni 18537	. . . 4 |- ( ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
57	55, 56	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
58	48, 57	eqtr3d 2477	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) = U. ( O tX J ) )
59		cnmpt2pc.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
60	17, 6	sstrd 3371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
61		resttopon 18770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] B ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
62	50, 60, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
63	59, 62	syl5eqel 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
64		txtopon 19169	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
65	63, 26, 64	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
66		cnmpt2pc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
67		cntop2 18850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) -> K e. Top )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
69	2	toptopon 18543	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
71		elicc2 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
72	3, 8, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
74	73	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
75	74	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> x <_ B )
76		iftrue 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
78	77	mpt2eq3dva 6155	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) )
79	78, 66	eqeltrd 2517	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
80		cnf2 18858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
81	65, 70, 79, 80	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
82		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
83	82	fmpt2 6646	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
84	81, 83	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
85		cnmpt2pc.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
86	40, 6	sstrd 3371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
87		resttopon 18770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( B [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
88	50, 86, 87	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
89	85, 88	syl5eqel 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
90		txtopon 19169	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
91	89, 26, 90	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
92		elicc2 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
93	8, 4, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
94	93	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
95	94	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
96	95	biantrud 507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
97	94	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> x e. RR )
98	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B e. RR )
99	97, 98	letri3d 9521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x = B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
100	96, 99	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
101	100	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
102		cnmpt2pc.q	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
103	102	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> D = E )
104	103	ifeq1d 3812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = if ( x <_ B , E , E ) )
105		ifid 3831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( x <_ B , E , E ) = E
106	104, 105	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
107	106	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
108	107	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
109	101, 108	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
110		iffalse 3804	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
111	109, 110	pm2.61d1 159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
112	111	mpt2eq3dva 6155	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) )
113		cnmpt2pc.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
114	112, 113	eqeltrd 2517	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
115		cnf2 18858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
116	91, 70, 114, 115	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
117		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
118	117	fmpt2 6646	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
119	116, 118	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
120		ralun 3543	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K /\ A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
121	84, 119, 120	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
122	16	raleqdv 2928	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) )
123	121, 122	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
124		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
125	124	fmpt2 6646	. . . 4 |- ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
126	123, 125	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
127	57	feq2d 5552	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K ) )
128	126, 127	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K )
129		ssid 3380	. . . 4 |- X C_ X
130		resmpt2 6193	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
131	17, 129, 130	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
132		retop 20345	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
133	11, 132	eqeltri 2513	. . . . . . . . 9 |- R e. Top
134		ovex 6121	. . . . . . . . 9 |- ( A [,] C ) e. _V
135		resttop 18769	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top )
136	133, 134, 135	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top
137	23, 136	eqeltri 2513	. . . . . . 7 |- O e. Top
138	137	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. Top )
139		ovex 6121	. . . . . . 7 |- ( A [,] B ) e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. _V )
141		txrest 19209	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( A [,] B ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
142	138, 26, 140, 33, 141	syl22anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
143	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
144	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] C ) e. _V )
145		restabs 18774	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
146	143, 17, 144, 145	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
147	23	oveq1i 6106	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( A [,] B ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) )
148	146, 147, 59	3eqtr4g 2500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( A [,] B ) ) = M )
149	28	oveq2d 6112	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = ( J ↾t U. J ) )
150	30	restid 14377	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J ↾t U. J ) = J )
151	26, 150	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t U. J ) = J )
152	149, 151	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = J )
153	148, 152	oveq12d 6114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( M tX J ) )
154	142, 153	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( M tX J ) )
155	154	oveq1d 6111	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( M tX J ) Cn K ) )
156	79, 131, 155	3eltr4d 2524	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) )
157		resmpt2 6193	. . . 4 |- ( ( ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
158	40, 129, 157	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
159		ovex 6121	. . . . . . 7 |- ( B [,] C ) e. _V
160	159	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. _V )
161		txrest 19209	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( B [,] C ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
162	138, 26, 160, 33, 161	syl22anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
163		restabs 18774	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
164	143, 40, 144, 163	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
165	23	oveq1i 6106	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( B [,] C ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) )
166	164, 165, 85	3eqtr4g 2500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( B [,] C ) ) = N )
167	166, 152	oveq12d 6114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( N tX J ) )
168	162, 167	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( N tX J ) )
169	168	oveq1d 6111	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( N tX J ) Cn K ) )
170	114, 158, 169	3eltr4d 2524	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) )
171	1, 2, 35, 45, 58, 128, 156, 170	paste 18903	1 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   u. cun 3331   C_ wss 3333   ifcif 3796   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   X. cxp 4843   ran crn 4846   |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   e. cmpt2 6098   RRcr 9286   <_ cle 9424   (,)cioo 11305   [,]cicc 11308   ↾_t crest 14364   topGenctg 14381   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   Clsdccld 18625   Cn ccn 18833   tX ctx 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-ioo 11309  df-icc 11312  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cld 18628  df-cn 18836  df-tx 19140

This theorem is referenced by:  htpycc  20557  pcocn  20594  pcohtpylem  20596  pcopt  20599  pcopt2  20600  pcoass  20601  pcorevlem  20603