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Theorem cnmpt2pc 22034
Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt2pc.m  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cnmpt2pc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cnmpt2pc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2pc.q  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
cnmpt2pc.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
cnmpt2pc.e  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, K, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    J( x, y)    M( x, y)    N( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2  |-  U. ( O  tX  J )  = 
U. ( O  tX  J )
2 eqid 2471 . 2  |-  U. K  =  U. K
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 iccssre 11741 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
86, 7sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9 icccld 21865 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
103, 8, 9syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
1211fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  R )  =  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1310, 12syl6eleqr 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  R ) )
14 ssun1 3588 . . . . . 6  |-  ( A [,] B )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
15 iccsplit 11791 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
163, 4, 7, 15syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
1714, 16syl5sseqr 3467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C ) )
18 uniretop 21861 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1911unieqi 4199 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2018, 19eqtr4i 2496 . . . . . 6  |-  RR  =  U. R
2120restcldi 20266 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( A [,] B )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
226, 13, 17, 21syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
23 cnmpt2pc.o . . . . 5  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
2423fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( Clsd `  O )  =  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) )
2522, 24syl6eleqr 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O ) )
26 cnmpt2pc.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
27 toponuni 20019 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2826, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
29 topontop 20018 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
30 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
3130topcld 20127 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  ( Clsd `  J
) )
3226, 29, 313syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  (
Clsd `  J )
)
3328, 32eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
34 txcld 20695 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A [,] B
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
3525, 33, 34syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
36 icccld 21865 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
378, 4, 36syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3837, 12syl6eleqr 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  R ) )
39 ssun2 3589 . . . . . 6  |-  ( B [,] C )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
4039, 16syl5sseqr 3467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C ) )
4120restcldi 20266 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( B [,] C )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( B [,] C )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( B [,] C )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
426, 38, 40, 41syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
4342, 24syl6eleqr 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O ) )
44 txcld 20695 . . 3  |-  ( ( ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( B [,] C
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
4543, 33, 44syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B [,] C )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
4616xpeq1d 4862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X ) )
47 xpundir 4893 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )
4846, 47syl6eq 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  X )  u.  ( ( B [,] C )  X.  X ) ) )
49 retopon 21862 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
5011, 49eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  R  e.  (TopOn `  RR )
51 resttopon 20254 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5250, 6, 51sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5323, 52syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
54 txtopon 20683 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
5553, 26, 54syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
56 toponuni 20019 . . . 4  |-  ( ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  (
( A [,] C
)  X.  X ) )  ->  ( ( A [,] C )  X.  X )  =  U. ( O  tX  J ) )
5755, 56syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  U. ( O  tX  J ) )
5848, 57eqtr3d 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )  =  U. ( O  tX  J ) )
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
6017, 6sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
61 resttopon 20254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6250, 60, 61sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6359, 62syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
64 txtopon 20683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( M  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
6563, 26, 64syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
67 cntop2 20334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
692toptopon 20025 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
71 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
723, 8, 71syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
7372biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
7473simp3d 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
75743adant3 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  x  <_  B )
7675iftrued 3880 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  D )
7776mpt2eq3dva 6374 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D ) )
7877, 66eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
79 cnf2 20342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X ) --> U. K )
8065, 70, 78, 79syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
81 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
8281fmpt2 6879 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
8380, 82sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
84 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
8540, 6sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
86 resttopon 20254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( B [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8750, 85, 86sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8884, 87syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
89 txtopon 20683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( N  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
9088, 26, 89syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
91 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
928, 4, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
9392biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C
) )
9493simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  <_  x )
9594biantrud 515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
9693simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  x  e.  RR )
978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  e.  RR )
9896, 97letri3d 9794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  =  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
9995, 98bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
100993adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
101 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
102101ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  D  =  E )
103102ifeq1d 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  if ( x  <_  B ,  E ,  E ) )
104 ifid 3909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( x  <_  B ,  E ,  E )  =  E
105103, 104syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
106105expr 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
1071063adant2 1049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
108100, 107sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
109 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
110108, 109pm2.61d1 164 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
111110mpt2eq3dva 6374 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E ) )
112 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
113111, 112eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
114 cnf2 20342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X ) --> U. K )
11590, 70, 113, 114syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
116 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
117116fmpt2 6879 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
118115, 117sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
119 ralun 3607 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  /\  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )  ->  A. x  e.  (
( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12083, 118, 119syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12116raleqdv 2979 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A [,] C
) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K 
<-> 
A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K ) )
122120, 121mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
123 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
124123fmpt2 6879 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
125122, 124sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
12657feq2d 5725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
) )
127125, 126mpbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
)
128 ssid 3437 . . . 4  |-  X  C_  X
129 resmpt2 6413 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
13017, 128, 129sylancl 675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
131 retop 21860 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
13211, 131eqeltri 2545 . . . . . . . . 9  |-  R  e. 
Top
133 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( A [,] C )  e. 
_V
134 resttop 20253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] C )  e.  _V )  -> 
( Rt  ( A [,] C ) )  e. 
Top )
135132, 133, 134mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  Top
13623, 135eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  O  e. 
Top
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Top )
138 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
139138a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  _V )
140 txrest 20723 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( A [,] B )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
141137, 26, 139, 33, 140syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
142132a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
143133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  e.  _V )
144 restabs 20258 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] B ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
145142, 17, 143, 144syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
14623oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( A [,] B ) )
147145, 146, 593eqtr4g 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  M )
14828oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  ( Jt 
U. J ) )
14930restid 15410 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Jt  U. J
)  =  J )
15026, 149syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
151148, 150eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  J )
152147, 151oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( M 
tX  J ) )
153141, 152eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( M  tX  J
) )
154153oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
15578, 130, 1543eltr4d 2564 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K ) )
156 resmpt2 6413 . . . 4  |-  ( ( ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
15740, 128, 156sylancl 675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
158 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( B [,] C )  e. 
_V
159158a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  _V )
160 txrest 20723 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( B [,] C )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
161137, 26, 159, 33, 160syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
162 restabs 20258 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( B [,] C ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
163142, 40, 143, 162syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
16423oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( B [,] C ) )
165163, 164, 843eqtr4g 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  N )
166165, 151oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( N 
tX  J ) )
167161, 166eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( N  tX  J
) )
168167oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
169113, 157, 1683eltr4d 2564 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K ) )
1701, 2, 35, 45, 58, 127, 155, 169paste 20387 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   RRcr 9556    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317    tX ctx 20652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-tx 20654
This theorem is referenced by:  htpycc  22089  pcocn  22126  pcohtpylem  22128  pcopt  22131  pcopt2  22132  pcoass  22133  pcorevlem  22135
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