Theorem cnmpt2pc 21532

Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt2pc.r	|- R = ( topGen ` ran (,) )
cnmpt2pc.m	|- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n	|- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o	|- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a	|- ( ph -> A e. RR )
cnmpt2pc.c	|- ( ph -> C e. RR )
cnmpt2pc.b	|- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt2pc.q	|- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
cnmpt2pc.d	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
cnmpt2pc.e	|- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2pc	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, K, y   ph, x, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   R( x, y)   E( x, y)   J( x, y)   M( x, y)   N( x, y)   O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2392	. 2 |- U. ( O tX J ) = U. ( O tX J )
2		eqid 2392	. 2 |- U. K = U. K
3		cnmpt2pc.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		cnmpt2pc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
5		iccssre 11545	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
7		cnmpt2pc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
8	6, 7	sseldd 3431	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
9		icccld 21378	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
11		cnmpt2pc.r	. . . . . . 7 |- R = ( topGen ` ran (,) )
12	11	fveq2i 5790	. . . . . 6 |- ( Clsd ` R ) = ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) )
13	10, 12	syl6eleqr 2491	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) )
14		ssun1 3594	. . . . . 6 |- ( A [,] B ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
15		iccsplit 11592	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. ( A [,] C ) ) -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
16	3, 4, 7, 15	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
17	14, 16	syl5sseqr 3479	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) )
18		uniretop 21373	. . . . . . 7 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
19	11	unieqi 4185	. . . . . . 7 |- U. R = U. ( topGen ` ran (,) )
20	18, 19	eqtr4i 2424	. . . . . 6 |- RR = U. R
21	20	restcldi 19779	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
22	6, 13, 17, 21	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
23		cnmpt2pc.o	. . . . 5 |- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
24	23	fveq2i 5790	. . . 4 |- ( Clsd ` O ) = ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) )
25	22, 24	syl6eleqr 2491	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) )
26		cnmpt2pc.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
27		toponuni 19532	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
29		topontop 19531	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
30		eqid 2392	. . . . . 6 |- U. J = U. J
31	30	topcld 19640	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
32	26, 29, 31	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
33	28, 32	eqeltrd 2480	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Clsd ` J ) )
34		txcld 20208	. . 3 |- ( ( ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
35	25, 33, 34	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
36		icccld 21378	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
37	8, 4, 36	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
38	37, 12	syl6eleqr 2491	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) )
39		ssun2 3595	. . . . . 6 |- ( B [,] C ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
40	39, 16	syl5sseqr 3479	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) )
41	20	restcldi 19779	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
42	6, 38, 40, 41	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
43	42, 24	syl6eleqr 2491	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) )
44		txcld 20208	. . 3 |- ( ( ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
45	43, 33, 44	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
46	16	xpeq1d 4949	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) )
47		xpundir 4980	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) )
48	46, 47	syl6eq 2449	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
49		retopon 21374	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
50	11, 49	eqeltri 2476	. . . . . . 7 |- R e. (TopOn ` RR )
51		resttopon 19767	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
52	50, 6, 51	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
53	23, 52	syl5eqel 2484	. . . . 5 |- ( ph -> O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
54		txtopon 20196	. . . . 5 |- ( ( O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
55	53, 26, 54	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
56		toponuni 19532	. . . 4 |- ( ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
57	55, 56	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
58	48, 57	eqtr3d 2435	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) = U. ( O tX J ) )
59		cnmpt2pc.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
60	17, 6	sstrd 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
61		resttopon 19767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] B ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
62	50, 60, 61	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
63	59, 62	syl5eqel 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
64		txtopon 20196	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
65	63, 26, 64	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
66		cnmpt2pc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
67		cntop2 19847	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) -> K e. Top )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
69	2	toptopon 19538	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
71		elicc2 11528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
72	3, 8, 71	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
73	72	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
74	73	simp3d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
75	74	3adant3 1014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> x <_ B )
76	75	iftrued 3878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
77	76	mpt2eq3dva 6278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) )
78	77, 66	eqeltrd 2480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
79		cnf2 19855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
80	65, 70, 78, 79	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
81		eqid 2392	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
82	81	fmpt2 6784	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
83	80, 82	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
84		cnmpt2pc.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
85	40, 6	sstrd 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
86		resttopon 19767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( B [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
87	50, 85, 86	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
88	84, 87	syl5eqel 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
89		txtopon 20196	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
90	88, 26, 89	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
91		elicc2 11528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
92	8, 4, 91	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
93	92	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
94	93	simp2d 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
95	94	biantrud 505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
96	93	simp1d 1006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> x e. RR )
97	8	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B e. RR )
98	96, 97	letri3d 9656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x = B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
99	95, 98	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
100	99	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
101		cnmpt2pc.q	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
102	101	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> D = E )
103	102	ifeq1d 3888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = if ( x <_ B , E , E ) )
104		ifid 3907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( x <_ B , E , E ) = E
105	103, 104	syl6eq 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
106	105	expr 613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
107	106	3adant2 1013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
108	100, 107	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
109		iffalse 3879	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
110	108, 109	pm2.61d1 159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
111	110	mpt2eq3dva 6278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) )
112		cnmpt2pc.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
113	111, 112	eqeltrd 2480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
114		cnf2 19855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
115	90, 70, 113, 114	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
116		eqid 2392	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
117	116	fmpt2 6784	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
118	115, 117	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
119		ralun 3613	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K /\ A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
120	83, 118, 119	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
121	16	raleqdv 2998	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) )
122	120, 121	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
123		eqid 2392	. . . . 5 |- ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
124	123	fmpt2 6784	. . . 4 |- ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
125	122, 124	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
126	57	feq2d 5639	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K ) )
127	125, 126	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K )
128		ssid 3449	. . . 4 |- X C_ X
129		resmpt2 6317	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
130	17, 128, 129	sylancl 660	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
131		retop 21372	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
132	11, 131	eqeltri 2476	. . . . . . . . 9 |- R e. Top
133		ovex 6242	. . . . . . . . 9 |- ( A [,] C ) e. _V
134		resttop 19766	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top )
135	132, 133, 134	mp2an 670	. . . . . . . 8 |- ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top
136	23, 135	eqeltri 2476	. . . . . . 7 |- O e. Top
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. Top )
138		ovex 6242	. . . . . . 7 |- ( A [,] B ) e. _V
139	138	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. _V )
140		txrest 20236	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( A [,] B ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
141	137, 26, 139, 33, 140	syl22anc 1227	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
142	132	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
143	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] C ) e. _V )
144		restabs 19771	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
145	142, 17, 143, 144	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
146	23	oveq1i 6224	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( A [,] B ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) )
147	145, 146, 59	3eqtr4g 2458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( A [,] B ) ) = M )
148	28	oveq2d 6230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = ( J ↾t U. J ) )
149	30	restid 14860	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J ↾t U. J ) = J )
150	26, 149	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t U. J ) = J )
151	148, 150	eqtrd 2433	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = J )
152	147, 151	oveq12d 6232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( M tX J ) )
153	141, 152	eqtrd 2433	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( M tX J ) )
154	153	oveq1d 6229	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( M tX J ) Cn K ) )
155	78, 130, 154	3eltr4d 2495	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) )
156		resmpt2 6317	. . . 4 |- ( ( ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
157	40, 128, 156	sylancl 660	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
158		ovex 6242	. . . . . . 7 |- ( B [,] C ) e. _V
159	158	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. _V )
160		txrest 20236	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( B [,] C ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
161	137, 26, 159, 33, 160	syl22anc 1227	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
162		restabs 19771	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
163	142, 40, 143, 162	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
164	23	oveq1i 6224	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( B [,] C ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) )
165	163, 164, 84	3eqtr4g 2458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( B [,] C ) ) = N )
166	165, 151	oveq12d 6232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( N tX J ) )
167	161, 166	eqtrd 2433	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( N tX J ) )
168	167	oveq1d 6229	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( N tX J ) Cn K ) )
169	113, 157, 168	3eltr4d 2495	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) )
170	1, 2, 35, 45, 58, 127, 155, 169	paste 19900	1 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1836   A.wral 2742   _Vcvv 3047   u. cun 3400   C_ wss 3402   ifcif 3870   U.cuni 4176   class class class wbr 4380   X. cxp 4924   ran crn 4927   |` cres 4928   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   |-> cmpt2 6216   RRcr 9420   <_ cle 9558   (,)cioo 11468   [,]cicc 11471   ↾_t crest 14847   topGenctg 14864   Topctop 19498  TopOnctopon 19499   Clsdccld 19621   Cn ccn 19830   tX ctx 20165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fi 7804  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-q 11120  df-ioo 11472  df-icc 11475  df-rest 14849  df-topgen 14870  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-cld 19624  df-cn 19833  df-tx 20167

This theorem is referenced by:  htpycc  21584  pcocn  21621  pcohtpylem  21623  pcopt  21626  pcopt2  21627  pcoass  21628  pcorevlem  21630