Theorem cnmpt2pc 21163

Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt2pc.r	|- R = ( topGen ` ran (,) )
cnmpt2pc.m	|- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n	|- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o	|- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a	|- ( ph -> A e. RR )
cnmpt2pc.c	|- ( ph -> C e. RR )
cnmpt2pc.b	|- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt2pc.q	|- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
cnmpt2pc.d	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
cnmpt2pc.e	|- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2pc	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, K, y   ph, x, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   R( x, y)   E( x, y)   J( x, y)   M( x, y)   N( x, y)   O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. 2 |- U. ( O tX J ) = U. ( O tX J )
2		eqid 2467	. 2 |- U. K = U. K
3		cnmpt2pc.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		cnmpt2pc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
5		iccssre 11602	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
7		cnmpt2pc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
8	6, 7	sseldd 3505	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
9		icccld 21009	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
11		cnmpt2pc.r	. . . . . . 7 |- R = ( topGen ` ran (,) )
12	11	fveq2i 5867	. . . . . 6 |- ( Clsd ` R ) = ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) )
13	10, 12	syl6eleqr 2566	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) )
14		ssun1 3667	. . . . . 6 |- ( A [,] B ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
15		iccsplit 11649	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. ( A [,] C ) ) -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
16	3, 4, 7, 15	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
17	14, 16	syl5sseqr 3553	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) )
18		uniretop 21004	. . . . . . 7 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
19	11	unieqi 4254	. . . . . . 7 |- U. R = U. ( topGen ` ran (,) )
20	18, 19	eqtr4i 2499	. . . . . 6 |- RR = U. R
21	20	restcldi 19440	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
22	6, 13, 17, 21	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
23		cnmpt2pc.o	. . . . 5 |- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
24	23	fveq2i 5867	. . . 4 |- ( Clsd ` O ) = ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) )
25	22, 24	syl6eleqr 2566	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) )
26		cnmpt2pc.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
27		toponuni 19195	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
29		topontop 19194	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
30		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. J = U. J
31	30	topcld 19302	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
32	26, 29, 31	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
33	28, 32	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Clsd ` J ) )
34		txcld 19839	. . 3 |- ( ( ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
35	25, 33, 34	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
36		icccld 21009	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
37	8, 4, 36	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
38	37, 12	syl6eleqr 2566	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) )
39		ssun2 3668	. . . . . 6 |- ( B [,] C ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
40	39, 16	syl5sseqr 3553	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) )
41	20	restcldi 19440	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
42	6, 38, 40, 41	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
43	42, 24	syl6eleqr 2566	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) )
44		txcld 19839	. . 3 |- ( ( ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
45	43, 33, 44	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
46	16	xpeq1d 5022	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) )
47		xpundir 5052	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) )
48	46, 47	syl6eq 2524	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
49		retopon 21005	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
50	11, 49	eqeltri 2551	. . . . . . 7 |- R e. (TopOn ` RR )
51		resttopon 19428	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
52	50, 6, 51	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
53	23, 52	syl5eqel 2559	. . . . 5 |- ( ph -> O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
54		txtopon 19827	. . . . 5 |- ( ( O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
55	53, 26, 54	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
56		toponuni 19195	. . . 4 |- ( ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
57	55, 56	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
58	48, 57	eqtr3d 2510	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) = U. ( O tX J ) )
59		cnmpt2pc.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
60	17, 6	sstrd 3514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
61		resttopon 19428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] B ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
62	50, 60, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
63	59, 62	syl5eqel 2559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
64		txtopon 19827	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
65	63, 26, 64	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
66		cnmpt2pc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
67		cntop2 19508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) -> K e. Top )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
69	2	toptopon 19201	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
71		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
72	3, 8, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
74	73	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
75	74	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> x <_ B )
76		iftrue 3945	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
78	77	mpt2eq3dva 6343	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) )
79	78, 66	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
80		cnf2 19516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
81	65, 70, 79, 80	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
82		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
83	82	fmpt2 6848	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
84	81, 83	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
85		cnmpt2pc.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
86	40, 6	sstrd 3514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
87		resttopon 19428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( B [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
88	50, 86, 87	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
89	85, 88	syl5eqel 2559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
90		txtopon 19827	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
91	89, 26, 90	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
92		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
93	8, 4, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
94	93	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
95	94	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
96	95	biantrud 507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
97	94	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> x e. RR )
98	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B e. RR )
99	97, 98	letri3d 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x = B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
100	96, 99	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
101	100	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
102		cnmpt2pc.q	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
103	102	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> D = E )
104	103	ifeq1d 3957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = if ( x <_ B , E , E ) )
105		ifid 3976	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( x <_ B , E , E ) = E
106	104, 105	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
107	106	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
108	107	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
109	101, 108	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
110		iffalse 3948	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
111	109, 110	pm2.61d1 159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
112	111	mpt2eq3dva 6343	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) )
113		cnmpt2pc.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
114	112, 113	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
115		cnf2 19516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
116	91, 70, 114, 115	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
117		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
118	117	fmpt2 6848	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
119	116, 118	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
120		ralun 3686	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K /\ A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
121	84, 119, 120	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
122	16	raleqdv 3064	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) )
123	121, 122	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
124		eqid 2467	. . . . 5 |- ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
125	124	fmpt2 6848	. . . 4 |- ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
126	123, 125	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
127	57	feq2d 5716	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K ) )
128	126, 127	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K )
129		ssid 3523	. . . 4 |- X C_ X
130		resmpt2 6382	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
131	17, 129, 130	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
132		retop 21003	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
133	11, 132	eqeltri 2551	. . . . . . . . 9 |- R e. Top
134		ovex 6307	. . . . . . . . 9 |- ( A [,] C ) e. _V
135		resttop 19427	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top )
136	133, 134, 135	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top
137	23, 136	eqeltri 2551	. . . . . . 7 |- O e. Top
138	137	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. Top )
139		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( A [,] B ) e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. _V )
141		txrest 19867	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( A [,] B ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
142	138, 26, 140, 33, 141	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
143	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
144	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] C ) e. _V )
145		restabs 19432	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
146	143, 17, 144, 145	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
147	23	oveq1i 6292	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( A [,] B ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) )
148	146, 147, 59	3eqtr4g 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( A [,] B ) ) = M )
149	28	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = ( J ↾t U. J ) )
150	30	restid 14685	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J ↾t U. J ) = J )
151	26, 150	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t U. J ) = J )
152	149, 151	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = J )
153	148, 152	oveq12d 6300	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( M tX J ) )
154	142, 153	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( M tX J ) )
155	154	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( M tX J ) Cn K ) )
156	79, 131, 155	3eltr4d 2570	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) )
157		resmpt2 6382	. . . 4 |- ( ( ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
158	40, 129, 157	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
159		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( B [,] C ) e. _V
160	159	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. _V )
161		txrest 19867	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( B [,] C ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
162	138, 26, 160, 33, 161	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
163		restabs 19432	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
164	143, 40, 144, 163	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
165	23	oveq1i 6292	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( B [,] C ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) )
166	164, 165, 85	3eqtr4g 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( B [,] C ) ) = N )
167	166, 152	oveq12d 6300	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( N tX J ) )
168	162, 167	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( N tX J ) )
169	168	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( N tX J ) Cn K ) )
170	114, 158, 169	3eltr4d 2570	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) )
171	1, 2, 35, 45, 58, 128, 156, 170	paste 19561	1 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   u. cun 3474   C_ wss 3476   ifcif 3939   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   RRcr 9487   <_ cle 9625   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ↾_t crest 14672   topGenctg 14689   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Clsdccld 19283   Cn ccn 19491   tX ctx 19796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-cn 19494  df-tx 19798

This theorem is referenced by:  htpycc  21215  pcocn  21252  pcohtpylem  21254  pcopt  21257  pcopt2  21258  pcoass  21259  pcorevlem  21261