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Theorem cnmpt2pc 21532
Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt2pc.m  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cnmpt2pc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cnmpt2pc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2pc.q  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
cnmpt2pc.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
cnmpt2pc.e  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, K, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    J( x, y)    M( x, y)    N( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2392 . 2  |-  U. ( O  tX  J )  = 
U. ( O  tX  J )
2 eqid 2392 . 2  |-  U. K  =  U. K
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 iccssre 11545 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
86, 7sseldd 3431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9 icccld 21378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
103, 8, 9syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
1211fveq2i 5790 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  R )  =  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1310, 12syl6eleqr 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  R ) )
14 ssun1 3594 . . . . . 6  |-  ( A [,] B )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
15 iccsplit 11592 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
163, 4, 7, 15syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
1714, 16syl5sseqr 3479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C ) )
18 uniretop 21373 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1911unieqi 4185 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2018, 19eqtr4i 2424 . . . . . 6  |-  RR  =  U. R
2120restcldi 19779 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( A [,] B )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
226, 13, 17, 21syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
23 cnmpt2pc.o . . . . 5  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
2423fveq2i 5790 . . . 4  |-  ( Clsd `  O )  =  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) )
2522, 24syl6eleqr 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O ) )
26 cnmpt2pc.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
27 toponuni 19532 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
29 topontop 19531 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
30 eqid 2392 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
3130topcld 19640 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  ( Clsd `  J
) )
3226, 29, 313syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  (
Clsd `  J )
)
3328, 32eqeltrd 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
34 txcld 20208 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A [,] B
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
3525, 33, 34syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
36 icccld 21378 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
378, 4, 36syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3837, 12syl6eleqr 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  R ) )
39 ssun2 3595 . . . . . 6  |-  ( B [,] C )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
4039, 16syl5sseqr 3479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C ) )
4120restcldi 19779 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( B [,] C )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( B [,] C )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( B [,] C )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
426, 38, 40, 41syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
4342, 24syl6eleqr 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O ) )
44 txcld 20208 . . 3  |-  ( ( ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( B [,] C
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
4543, 33, 44syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B [,] C )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
4616xpeq1d 4949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X ) )
47 xpundir 4980 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )
4846, 47syl6eq 2449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  X )  u.  ( ( B [,] C )  X.  X ) ) )
49 retopon 21374 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
5011, 49eqeltri 2476 . . . . . . 7  |-  R  e.  (TopOn `  RR )
51 resttopon 19767 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5250, 6, 51sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5323, 52syl5eqel 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
54 txtopon 20196 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
5553, 26, 54syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
56 toponuni 19532 . . . 4  |-  ( ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  (
( A [,] C
)  X.  X ) )  ->  ( ( A [,] C )  X.  X )  =  U. ( O  tX  J ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  U. ( O  tX  J ) )
5848, 57eqtr3d 2435 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )  =  U. ( O  tX  J ) )
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
6017, 6sstrd 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
61 resttopon 19767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6250, 60, 61sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6359, 62syl5eqel 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
64 txtopon 20196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( M  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
6563, 26, 64syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
67 cntop2 19847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
692toptopon 19538 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
71 elicc2 11528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
723, 8, 71syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
7372biimpa 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
7473simp3d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
75743adant3 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  x  <_  B )
7675iftrued 3878 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  D )
7776mpt2eq3dva 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D ) )
7877, 66eqeltrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
79 cnf2 19855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X ) --> U. K )
8065, 70, 78, 79syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
81 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
8281fmpt2 6784 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
8380, 82sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
84 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
8540, 6sstrd 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
86 resttopon 19767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( B [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8750, 85, 86sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8884, 87syl5eqel 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
89 txtopon 20196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( N  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
9088, 26, 89syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
91 elicc2 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
928, 4, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
9392biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C
) )
9493simp2d 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  <_  x )
9594biantrud 505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
9693simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  x  e.  RR )
978adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  e.  RR )
9896, 97letri3d 9656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  =  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
9995, 98bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
100993adant3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
101 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
102101ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  D  =  E )
103102ifeq1d 3888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  if ( x  <_  B ,  E ,  E ) )
104 ifid 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( x  <_  B ,  E ,  E )  =  E
105103, 104syl6eq 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
106105expr 613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
1071063adant2 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
108100, 107sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
109 iffalse 3879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
110108, 109pm2.61d1 159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
111110mpt2eq3dva 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E ) )
112 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
113111, 112eqeltrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
114 cnf2 19855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X ) --> U. K )
11590, 70, 113, 114syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
116 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
117116fmpt2 6784 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
118115, 117sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
119 ralun 3613 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  /\  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )  ->  A. x  e.  (
( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12083, 118, 119syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12116raleqdv 2998 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A [,] C
) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K 
<-> 
A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K ) )
122120, 121mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
123 eqid 2392 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
124123fmpt2 6784 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
125122, 124sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
12657feq2d 5639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
) )
127125, 126mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
)
128 ssid 3449 . . . 4  |-  X  C_  X
129 resmpt2 6317 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
13017, 128, 129sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
131 retop 21372 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
13211, 131eqeltri 2476 . . . . . . . . 9  |-  R  e. 
Top
133 ovex 6242 . . . . . . . . 9  |-  ( A [,] C )  e. 
_V
134 resttop 19766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] C )  e.  _V )  -> 
( Rt  ( A [,] C ) )  e. 
Top )
135132, 133, 134mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  Top
13623, 135eqeltri 2476 . . . . . . 7  |-  O  e. 
Top
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Top )
138 ovex 6242 . . . . . . 7  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
139138a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  _V )
140 txrest 20236 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( A [,] B )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
141137, 26, 139, 33, 140syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
142132a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
143133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  e.  _V )
144 restabs 19771 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] B ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
145142, 17, 143, 144syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
14623oveq1i 6224 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( A [,] B ) )
147145, 146, 593eqtr4g 2458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  M )
14828oveq2d 6230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  ( Jt 
U. J ) )
14930restid 14860 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Jt  U. J
)  =  J )
15026, 149syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
151148, 150eqtrd 2433 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  J )
152147, 151oveq12d 6232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( M 
tX  J ) )
153141, 152eqtrd 2433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( M  tX  J
) )
154153oveq1d 6229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
15578, 130, 1543eltr4d 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K ) )
156 resmpt2 6317 . . . 4  |-  ( ( ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
15740, 128, 156sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
158 ovex 6242 . . . . . . 7  |-  ( B [,] C )  e. 
_V
159158a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  _V )
160 txrest 20236 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( B [,] C )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
161137, 26, 159, 33, 160syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
162 restabs 19771 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( B [,] C ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
163142, 40, 143, 162syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
16423oveq1i 6224 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( B [,] C ) )
165163, 164, 843eqtr4g 2458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  N )
166165, 151oveq12d 6232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( N 
tX  J ) )
167161, 166eqtrd 2433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( N  tX  J
) )
168167oveq1d 6229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
169113, 157, 1683eltr4d 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K ) )
1701, 2, 35, 45, 58, 127, 155, 169paste 19900 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2742   _Vcvv 3047    u. cun 3400    C_ wss 3402   ifcif 3870   U.cuni 4176   class class class wbr 4380    X. cxp 4924   ran crn 4927    |` cres 4928   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214    |-> cmpt2 6216   RRcr 9420    <_ cle 9558   (,)cioo 11468   [,]cicc 11471   ↾t crest 14847   topGenctg 14864   Topctop 19498  TopOnctopon 19499   Clsdccld 19621    Cn ccn 19830    tX ctx 20165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fi 7804  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-q 11120  df-ioo 11472  df-icc 11475  df-rest 14849  df-topgen 14870  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-cld 19624  df-cn 19833  df-tx 20167
This theorem is referenced by:  htpycc  21584  pcocn  21621  pcohtpylem  21623  pcopt  21626  pcopt2  21627  pcoass  21628  pcorevlem  21630
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