Theorem cnmpt2pc 21968

Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt2pc.r	|- R = ( topGen ` ran (,) )
cnmpt2pc.m	|- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n	|- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o	|- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a	|- ( ph -> A e. RR )
cnmpt2pc.c	|- ( ph -> C e. RR )
cnmpt2pc.b	|- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt2pc.q	|- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
cnmpt2pc.d	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
cnmpt2pc.e	|- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2pc	|- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, K, y   ph, x, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   R( x, y)   E( x, y)   J( x, y)   M( x, y)   N( x, y)   O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2453	. 2 |- U. ( O tX J ) = U. ( O tX J )
2		eqid 2453	. 2 |- U. K = U. K
3		cnmpt2pc.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		cnmpt2pc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
5		iccssre 11723	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
7		cnmpt2pc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
8	6, 7	sseldd 3435	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
9		icccld 21799	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
11		cnmpt2pc.r	. . . . . . 7 |- R = ( topGen ` ran (,) )
12	11	fveq2i 5873	. . . . . 6 |- ( Clsd ` R ) = ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) )
13	10, 12	syl6eleqr 2542	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) )
14		ssun1 3599	. . . . . 6 |- ( A [,] B ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
15		iccsplit 11772	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. ( A [,] C ) ) -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
16	3, 4, 7, 15	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] C ) = ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) )
17	14, 16	syl5sseqr 3483	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) )
18		uniretop 21795	. . . . . . 7 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
19	11	unieqi 4210	. . . . . . 7 |- U. R = U. ( topGen ` ran (,) )
20	18, 19	eqtr4i 2478	. . . . . 6 |- RR = U. R
21	20	restcldi 20201	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( A [,] B ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
22	6, 13, 17, 21	syl3anc 1269	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
23		cnmpt2pc.o	. . . . 5 |- O = ( R ↾t ( A [,] C ) )
24	23	fveq2i 5873	. . . 4 |- ( Clsd ` O ) = ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) )
25	22, 24	syl6eleqr 2542	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) )
26		cnmpt2pc.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
27		toponuni 19954	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
29		topontop 19953	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
30		eqid 2453	. . . . . 6 |- U. J = U. J
31	30	topcld 20062	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
32	26, 29, 31	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
33	28, 32	eqeltrd 2531	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Clsd ` J ) )
34		txcld 20630	. . 3 |- ( ( ( A [,] B ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
35	25, 33, 34	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
36		icccld 21799	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
37	8, 4, 36	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
38	37, 12	syl6eleqr 2542	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) )
39		ssun2 3600	. . . . . 6 |- ( B [,] C ) C_ ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) )
40	39, 16	syl5sseqr 3483	. . . . 5 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) )
41	20	restcldi 20201	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] C ) C_ RR /\ ( B [,] C ) e. ( Clsd ` R ) /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) ) -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
42	6, 38, 40, 41	syl3anc 1269	. . . 4 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` ( R ↾t ( A [,] C ) ) ) )
43	42, 24	syl6eleqr 2542	. . 3 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) )
44		txcld 20630	. . 3 |- ( ( ( B [,] C ) e. ( Clsd ` O ) /\ X e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
45	43, 33, 44	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> ( ( B [,] C ) X. X ) e. ( Clsd ` ( O tX J ) ) )
46	16	xpeq1d 4860	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) )
47		xpundir 4891	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) )
48	46, 47	syl6eq 2503	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
49		retopon 21796	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
50	11, 49	eqeltri 2527	. . . . . . 7 |- R e. (TopOn ` RR )
51		resttopon 20189	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
52	50, 6, 51	sylancr 670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
53	23, 52	syl5eqel 2535	. . . . 5 |- ( ph -> O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) )
54		txtopon 20618	. . . . 5 |- ( ( O e. (TopOn ` ( A [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
55	53, 26, 54	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) )
56		toponuni 19954	. . . 4 |- ( ( O tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] C ) X. X ) ) -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
57	55, 56	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] C ) X. X ) = U. ( O tX J ) )
58	48, 57	eqtr3d 2489	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A [,] B ) X. X ) u. ( ( B [,] C ) X. X ) ) = U. ( O tX J ) )
59		cnmpt2pc.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( R ↾t ( A [,] B ) )
60	17, 6	sstrd 3444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
61		resttopon 20189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( A [,] B ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
62	50, 60, 61	sylancr 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( A [,] B ) ) e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
63	59, 62	syl5eqel 2535	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) )
64		txtopon 20618	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. (TopOn ` ( A [,] B ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
65	63, 26, 64	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) )
66		cnmpt2pc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
67		cntop2 20269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) -> K e. Top )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
69	2	toptopon 19960	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
70	68, 69	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
71		elicc2 11706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
72	3, 8, 71	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
73	72	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
74	73	simp3d 1023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
75	74	3adant3 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> x <_ B )
76	75	iftrued 3891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = D )
77	76	mpt2eq3dva 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> D ) )
78	77, 66	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) )
79		cnf2 20277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M tX J ) e. (TopOn ` ( ( A [,] B ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( M tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
80	65, 70, 78, 79	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
81		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
82	81	fmpt2 6865	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] B ) X. X ) --> U. K )
83	80, 82	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
84		cnmpt2pc.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( R ↾t ( B [,] C ) )
85	40, 6	sstrd 3444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
86		resttopon 20189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` RR ) /\ ( B [,] C ) C_ RR ) -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
87	50, 85, 86	sylancr 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ↾t ( B [,] C ) ) e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
88	84, 87	syl5eqel 2535	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) )
89		txtopon 20618	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. (TopOn ` ( B [,] C ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
90	88, 26, 89	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) )
91		elicc2 11706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
92	8, 4, 91	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
93	92	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
94	93	simp2d 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B <_ x )
95	94	biantrud 510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
96	93	simp1d 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> x e. RR )
97	8	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> B e. RR )
98	96, 97	letri3d 9782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x = B <-> ( x <_ B /\ B <_ x ) ) )
99	95, 98	bitr4d 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
100	99	3adant3 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B <-> x = B ) )
101		cnmpt2pc.q	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x = B /\ y e. X ) ) -> D = E )
102	101	ancom2s 812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> D = E )
103	102	ifeq1d 3901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = if ( x <_ B , E , E ) )
104		ifid 3920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( x <_ B , E , E ) = E
105	103, 104	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ x = B ) ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
106	105	expr 620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
107	106	3adant2 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x = B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
108	100, 107	sylbid 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> ( x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E ) )
109		iffalse 3892	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x <_ B -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
110	108, 109	pm2.61d1 163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,] C ) /\ y e. X ) -> if ( x <_ B , D , E ) = E )
111	110	mpt2eq3dva 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) )
112		cnmpt2pc.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> E ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
113	111, 112	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) )
114		cnf2 20277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N tX J ) e. (TopOn ` ( ( B [,] C ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( N tX J ) Cn K ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
115	90, 70, 113, 114	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
116		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
117	116	fmpt2 6865	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( B [,] C ) X. X ) --> U. K )
118	115, 117	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
119		ralun 3618	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K /\ A. x e. ( B [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
120	83, 118, 119	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
121	16	raleqdv 2995	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> A. x e. ( ( A [,] B ) u. ( B [,] C ) ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K ) )
122	120, 121	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K )
123		eqid 2453	. . . . 5 |- ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) = ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) )
124	123	fmpt2 6865	. . . 4 |- ( A. x e. ( A [,] C ) A. y e. X if ( x <_ B , D , E ) e. U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
125	122, 124	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K )
126	57	feq2d 5720	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : ( ( A [,] C ) X. X ) --> U. K <-> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K ) )
127	125, 126	mpbid 214	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) : U. ( O tX J ) --> U. K )
128		ssid 3453	. . . 4 |- X C_ X
129		resmpt2 6399	. . . 4 |- ( ( ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
130	17, 128, 129	sylancl 669	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( x e. ( A [,] B ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
131		retop 21794	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
132	11, 131	eqeltri 2527	. . . . . . . . 9 |- R e. Top
133		ovex 6323	. . . . . . . . 9 |- ( A [,] C ) e. _V
134		resttop 20188	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top )
135	132, 133, 134	mp2an 679	. . . . . . . 8 |- ( R ↾t ( A [,] C ) ) e. Top
136	23, 135	eqeltri 2527	. . . . . . 7 |- O e. Top
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. Top )
138		ovex 6323	. . . . . . 7 |- ( A [,] B ) e. _V
139	138	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) e. _V )
140		txrest 20658	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( A [,] B ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
141	137, 26, 139, 33, 140	syl22anc 1270	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
142	132	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
143	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] C ) e. _V )
144		restabs 20193	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( A [,] B ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
145	142, 17, 143, 144	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( R ↾t ( A [,] B ) ) )
146	23	oveq1i 6305	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( A [,] B ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( A [,] B ) )
147	145, 146, 59	3eqtr4g 2512	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( A [,] B ) ) = M )
148	28	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = ( J ↾t U. J ) )
149	30	restid 15344	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J ↾t U. J ) = J )
150	26, 149	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t U. J ) = J )
151	148, 150	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t X ) = J )
152	147, 151	oveq12d 6313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( A [,] B ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( M tX J ) )
153	141, 152	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) = ( M tX J ) )
154	153	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( M tX J ) Cn K ) )
155	78, 130, 154	3eltr4d 2546	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( A [,] B ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( A [,] B ) X. X ) ) Cn K ) )
156		resmpt2 6399	. . . 4 |- ( ( ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ X C_ X ) -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
157	40, 128, 156	sylancl 669	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( x e. ( B [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) )
158		ovex 6323	. . . . . . 7 |- ( B [,] C ) e. _V
159	158	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,] C ) e. _V )
160		txrest 20658	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. Top /\ J e. (TopOn ` X ) ) /\ ( ( B [,] C ) e. _V /\ X e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
161	137, 26, 159, 33, 160	syl22anc 1270	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) )
162		restabs 20193	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ ( B [,] C ) C_ ( A [,] C ) /\ ( A [,] C ) e. _V ) -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
163	142, 40, 143, 162	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) ) = ( R ↾t ( B [,] C ) ) )
164	23	oveq1i 6305	. . . . . . 7 |- ( O ↾t ( B [,] C ) ) = ( ( R ↾t ( A [,] C ) ) ↾t ( B [,] C ) )
165	163, 164, 84	3eqtr4g 2512	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ↾t ( B [,] C ) ) = N )
166	165, 151	oveq12d 6313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ↾t ( B [,] C ) ) tX ( J ↾t X ) ) = ( N tX J ) )
167	161, 166	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) = ( N tX J ) )
168	167	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) = ( ( N tX J ) Cn K ) )
169	113, 157, 168	3eltr4d 2546	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) |` ( ( B [,] C ) X. X ) ) e. ( ( ( O tX J ) ↾t ( ( B [,] C ) X. X ) ) Cn K ) )
170	1, 2, 35, 45, 58, 127, 155, 169	paste 20322	1 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] C ) , y e. X |-> if ( x <_ B , D , E ) ) e. ( ( O tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   u. cun 3404   C_ wss 3406   ifcif 3883   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   X. cxp 4835   ran crn 4838   |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   RRcr 9543   <_ cle 9681   (,)cioo 11642   [,]cicc 11645   ↾_t crest 15331   topGenctg 15348   Topctop 19929  TopOnctopon 19930   Clsdccld 20043   Cn ccn 20252   tX ctx 20587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-ioo 11646  df-icc 11649  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cld 20046  df-cn 20255  df-tx 20589

This theorem is referenced by:  htpycc  22023  pcocn  22060  pcohtpylem  22062  pcopt  22065  pcopt2  22066  pcoass  22067  pcorevlem  22069