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Theorem cnmpt2k 17673
Description: The currying of a two-argument function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2k.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2k.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2k.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2k
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ x Y
2 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
3 nfmpt22 6100 . . . . . 6  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
4 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x w
52, 3, 4nfov 6063 . . . . 5  |-  F/_ x
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
61, 5nfmpt 4257 . . . 4  |-  F/_ x
( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
7 nfcv 2540 . . . 4  |-  F/_ w
( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
8 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
9 nfmpt21 6099 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
10 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
118, 9, 10nfov 6063 . . . . . 6  |-  F/_ y
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
12 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ v
( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
13 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  (
v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
1411, 12, 13cbvmpt 4259 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
15 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
1615mpteq2dv 4256 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
1714, 16syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
186, 7, 17cbvmpt 4259 . . 3  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
19 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
20 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
21 cnmpt2k.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
22 cnmpt2k.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
23 txtopon 17576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( K  tX  J )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
25 cnmpt2k.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
26 cntop2 17259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. L  =  U. L
2928toptopon 16953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3027, 29sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3122, 21, 25cnmptcom 17663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
32 cnf2 17267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
3324, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3534fmpt2 6377 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
3633, 35sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3736r19.21bi 2764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3837r19.21bi 2764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. L )
3938an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L )
4034ovmpt4g 6155 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4119, 20, 39, 40syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4241mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
4342mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
4418, 43syl5eq 2448 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
45 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )
4645xkoinjcn 17672 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  (
( K  tX  J
)  ^ k o  K ) ) )
4722, 21, 46syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  ( ( K 
tX  J )  ^ k o  K )
) )
4833feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z
) ) )
4948, 31eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  X.  X ) 
|->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
50 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  <. v ,  w >. ) )
51 df-ov 6043 . . . 4  |-  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 <. v ,  w >. )
5250, 51syl6eqr 2454 . . 3  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
5322, 21, 24, 47, 49, 52cnmptk1 17666 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K ) ) )
5444, 53eqeltrrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   <.cop 3777   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545    ^ k o cxko 17546
This theorem is referenced by:  xkocnv  17799  xkohmeo  17800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-xko 17548
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