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Theorem cnmpt2k 20780
Description: The currying of a two-argument function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2k.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2k.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2k.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2k
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ x Y
2 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
3 nfmpt22 6378 . . . . . 6  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
4 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x w
52, 3, 4nfov 6334 . . . . 5  |-  F/_ x
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
61, 5nfmpt 4484 . . . 4  |-  F/_ x
( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
7 nfcv 2612 . . . 4  |-  F/_ w
( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
8 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
9 nfmpt21 6377 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
10 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
118, 9, 10nfov 6334 . . . . . 6  |-  F/_ y
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
12 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ v
( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
13 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  (
v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
1411, 12, 13cbvmpt 4487 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
15 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
1615mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
1714, 16syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
186, 7, 17cbvmpt 4487 . . 3  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
19 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
20 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
21 cnmpt2k.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
22 cnmpt2k.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
23 txtopon 20683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( K  tX  J )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
2421, 22, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
25 cnmpt2k.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
26 cntop2 20334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
28 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. L  =  U. L
2928toptopon 20025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3027, 29sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3122, 21, 25cnmptcom 20770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
32 cnf2 20342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
3324, 30, 31, 32syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3534fmpt2 6879 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
3633, 35sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3736r19.21bi 2776 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3837r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. L )
3938an32s 821 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L )
4034ovmpt4g 6438 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4119, 20, 39, 40syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4241mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
4342mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
4418, 43syl5eq 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
45 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )
4645xkoinjcn 20779 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  (
( K  tX  J
)  ^ko  K ) ) )
4722, 21, 46syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  ( ( K 
tX  J )  ^ko  K ) ) )
4833feqmptd 5932 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z
) ) )
4948, 31eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  X.  X ) 
|->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
50 fveq2 5879 . . . 4  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  <. v ,  w >. ) )
51 df-ov 6311 . . . 4  |-  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 <. v ,  w >. )
5250, 51syl6eqr 2523 . . 3  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
5322, 21, 24, 47, 49, 52cnmptk1 20773 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
5444, 53eqeltrrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   <.cop 3965   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317    tX ctx 20652    ^ko cxko 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-xko 20655
This theorem is referenced by:  xkocnv  20906  xkohmeo  20907
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