MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ip Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2ip 20902
Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 19390 which cannot be used directly because  .i is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cnmpt1ip.c  |-  C  =  ( TopOpen ` fld )
cnmpt1ip.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cnmpt1ip.r  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
cnmpt1ip.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2ip.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2ip.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2ip.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ip  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .,  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, W, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    ., ( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2ip.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 19306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1ip.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
6 cphngp 20834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
7 ngptps 20336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  TopSp )
9 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
10 cnmpt1ip.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
119, 10istps 18683 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
128, 11sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
13 cnmpt2ip.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
14 cnf2 18995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
154, 12, 13, 14syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  W
) )
16 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1716fmpt2 6754 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
1815, 17sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  W ) )
1918r19.21bi 2920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  W )
)
2019r19.21bi 2920 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
21 cnmpt2ip.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
22 cnf2 18995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
234, 12, 21, 22syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  W
) )
24 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2524fmpt2 6754 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
2623, 25sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W ) )
2726r19.21bi 2920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W )
)
2827r19.21bi 2920 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  W
) )
29 cnmpt1ip.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
30 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .if `  W )  =  ( .if `  W )
319, 29, 30ipfval 18213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  W )  /\  B  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( A ( .if `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
3220, 28, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( .if `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
33323impa 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( .if `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
3433mpt2eq3dva 6262 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( .if `  W ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .,  B
) ) )
35 cnmpt1ip.c . . . . 5  |-  C  =  ( TopOpen ` fld )
3630, 10, 35ipcn 20900 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( .if `  W )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  C ) )
375, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .if `  W )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  C ) )
381, 2, 13, 21, 37cnmpt22f 19390 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( .if `  W ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  C
) )
3934, 38eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .,  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    X. cxp 4949   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Basecbs 14296   .icip 14366   TopOpenctopn 14483  ℂfldccnfld 17953   .ifcipf 18189  TopOnctopon 18641   TopSpctps 18643    Cn ccn 18970    tX ctx 19275  NrmGrpcngp 20312   CPreHilccph 20827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-rnghom 16939  df-drng 16967  df-subrg 16996  df-staf 17063  df-srng 17064  df-lmod 17083  df-lmhm 17236  df-lvec 17317  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-cnfld 17954  df-phl 18190  df-ipf 18191  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-nm 20317  df-ngp 20318  df-tng 20319  df-nlm 20321  df-clm 20777  df-cph 20829  df-tch 20830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator