MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ds Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2ds 20545
Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 19373 which cannot be used directly because  D is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
cnmpt1ds.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1ds.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt1ds.g  |-  ( ph  ->  G  e.  MetSp )
cnmpt1ds.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2ds.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2ds.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2ds.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ds  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A D B ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  R ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, R, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2ds.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 19289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1ds.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  MetSp )
6 mstps 20155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  TopSp
)
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
9 cnmpt1ds.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
108, 9istps 18666 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
117, 10sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
12 cnmpt2ds.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
13 cnf2 18978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
144, 11, 12, 13syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
15 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1615fmpt2 6744 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
1714, 16sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G ) )
1817r19.21bi 2913 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G )
)
1918r19.21bi 2913 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
20 cnmpt2ds.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
21 cnf2 18978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
224, 11, 20, 21syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
23 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2423fmpt2 6744 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
2522, 24sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G ) )
2625r19.21bi 2913 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G )
)
2726r19.21bi 2913 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
2819, 27ovresd 6334 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B )  =  ( A D B ) )
29283impa 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( D  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) B )  =  ( A D B ) )
3029mpt2eq3dva 6252 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A D B ) ) )
31 cnmpt1ds.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
32 cnmpt1ds.r . . . . 5  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
338, 31, 9, 32msdcn 20543 . . . 4  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  R ) )
345, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  R
) )
351, 2, 12, 20, 34cnmpt22f 19373 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  R
) )
3630, 35eqeltrrd 2540 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A D B ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    X. cxp 4939   ran crn 4942    |` cres 4943   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   (,)cioo 11404   Basecbs 14285   distcds 14358   TopOpenctopn 14471   topGenctg 14487  TopOnctopon 18624   TopSpctps 18626    Cn ccn 18953    tX ctx 19258   MetSpcmt 20018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ec 7206  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-ordt 14550  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-ps 15481  df-tsr 15482  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator