Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ds Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2ds 21642
 Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 20470 which cannot be used directly because is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d
cnmpt1ds.j
cnmpt1ds.r
cnmpt1ds.g
cnmpt1ds.k TopOn
cnmpt2ds.l TopOn
cnmpt2ds.a
cnmpt2ds.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ds
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem cnmpt2ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . . . . 10 TopOn
2 cnmpt2ds.l . . . . . . . . . 10 TopOn
3 txtopon 20386 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . 9 TopOn
5 cnmpt1ds.g . . . . . . . . . . 11
6 mstps 21252 . . . . . . . . . . 11
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10
8 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
9 cnmpt1ds.j . . . . . . . . . . 11
108, 9istps 19731 . . . . . . . . . 10 TopOn
117, 10sylib 198 . . . . . . . . 9 TopOn
12 cnmpt2ds.a . . . . . . . . 9
13 cnf2 20045 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
144, 11, 12, 13syl3anc 1232 . . . . . . . 8
15 eqid 2404 . . . . . . . . 9
1615fmpt2 6853 . . . . . . . 8
1714, 16sylibr 214 . . . . . . 7
1817r19.21bi 2775 . . . . . 6
1918r19.21bi 2775 . . . . 5
20 cnmpt2ds.b . . . . . . . . 9
21 cnf2 20045 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
224, 11, 20, 21syl3anc 1232 . . . . . . . 8
23 eqid 2404 . . . . . . . . 9
2423fmpt2 6853 . . . . . . . 8
2522, 24sylibr 214 . . . . . . 7
2625r19.21bi 2775 . . . . . 6
2726r19.21bi 2775 . . . . 5
2819, 27ovresd 6426 . . . 4
29283impa 1194 . . 3
3029mpt2eq3dva 6344 . 2
31 cnmpt1ds.d . . . . 5
32 cnmpt1ds.r . . . . 5
338, 31, 9, 32msdcn 21640 . . . 4
345, 33syl 17 . . 3
351, 2, 12, 20, 34cnmpt22f 20470 . 2
3630, 35eqeltrrd 2493 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756   cxp 4823   crn 4826   cres 4827  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  cioo 11584  cbs 14843  cds 14920  ctopn 15038  ctg 15054  TopOnctopon 19689  ctps 19691   ccn 20020   ctx 20355  cmt 21115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ec 7352  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-ordt 15117  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-ps 16156  df-tsr 16157  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator