Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt22 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnmpt22 20766
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j TopOn
cnmpt21.k TopOn
cnmpt21.a
cnmpt2t.b
cnmpt22.l TopOn
cnmpt22.m TopOn
cnmpt22.c
cnmpt22.d
Assertion
Ref Expression
cnmpt22
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem cnmpt22
StepHypRef Expression
1 df-ov 6311 . . . 4
2 cnmpt21.j . . . . . . . . . 10 TopOn
3 cnmpt21.k . . . . . . . . . 10 TopOn
4 txtopon 20683 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
52, 3, 4syl2anc 673 . . . . . . . . 9 TopOn
6 cnmpt22.l . . . . . . . . 9 TopOn
7 cnmpt21.a . . . . . . . . 9
8 cnf2 20342 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
95, 6, 7, 8syl3anc 1292 . . . . . . . 8
10 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1110fmpt2 6879 . . . . . . . 8
129, 11sylibr 217 . . . . . . 7
13 rsp2 2780 . . . . . . 7
1412, 13syl 17 . . . . . 6
15143impib 1229 . . . . 5
16 cnmpt22.m . . . . . . . . 9 TopOn
17 cnmpt2t.b . . . . . . . . 9
18 cnf2 20342 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
195, 16, 17, 18syl3anc 1292 . . . . . . . 8
20 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2120fmpt2 6879 . . . . . . . 8
2219, 21sylibr 217 . . . . . . 7
23 rsp2 2780 . . . . . . 7
2422, 23syl 17 . . . . . 6
25243impib 1229 . . . . 5
2615, 25jca 541 . . . . . 6
27 txtopon 20683 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
286, 16, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 TopOn
29 cnmpt22.c . . . . . . . . . . . 12
30 cntop2 20334 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11
32 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
3332toptopon 20025 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3431, 33sylib 201 . . . . . . . . . 10 TopOn
35 cnf2 20342 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
3628, 34, 29, 35syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
37 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
3837fmpt2 6879 . . . . . . . . 9
3936, 38sylibr 217 . . . . . . . 8
40 r2al 2783 . . . . . . . 8
4139, 40sylib 201 . . . . . . 7
42413ad2ant1 1051 . . . . . 6
43 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
44 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
4543, 44bi2anan9 890 . . . . . . . 8
46 cnmpt22.d . . . . . . . . 9
4746eleq1d 2533 . . . . . . . 8
4845, 47imbi12d 327 . . . . . . 7
4948spc2gv 3123 . . . . . 6
5026, 42, 26, 49syl3c 62 . . . . 5
5146, 37ovmpt2ga 6445 . . . . 5
5215, 25, 50, 51syl3anc 1292 . . . 4
531, 52syl5eqr 2519 . . 3
5453mpt2eq3dva 6374 . 2
552, 3, 7, 17cnmpt2t 20765 . . 3
562, 3, 55, 29cnmpt21f 20764 . 2
5754, 56eqeltrrd 2550 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cop 3965  cuni 4190   cxp 4837  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-tx 20654 This theorem is referenced by:  cnmpt22f  20767  xkofvcn  20776  cnmptk2  20778  pcorevlem  22135
 Copyright terms: Public domain W3C validator