Theorem cnmpt22 19903

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
cnmpt22.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt22.m	|- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
cnmpt22.c	|- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
cnmpt22.d	|- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt22	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Distinct variable groups:   z, w, A   w, B   w, D, z   z, J   x, w, y, z, L   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   w, M, x, y, z   w, N, x, y, z   w, Y, x, y, z   z, K   w, W, x, y, z   w, Z, x, y, z   z, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( x, y)   B( x, y)   C( z, w)   D( x, y)   J( x, y, w)   K( x, y, w)

Proof of Theorem cnmpt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6278	. . . 4 |- ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. )
2		cnmpt21.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt21.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		txtopon 19820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6		cnmpt22.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
7		cnmpt21.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
8		cnf2 19509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
10		eqid 2460	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
11	10	fmpt2 6841	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
12	9, 11	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. Z )
13		rsp2 2831	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
15	14	3impib 1189	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z )
16		cnmpt22.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
17		cnmpt2t.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
18		cnf2 19509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` W ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
19	5, 16, 17, 18	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
20		eqid 2460	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	20	fmpt2 6841	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
22	19, 21	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. W )
23		rsp2 2831	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
25	24	3impib 1189	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W )
26	15, 25	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A e. Z /\ B e. W ) )
27		txtopon 19820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` W ) ) -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
28	6, 16, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
29		cnmpt22.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
30		cntop2 19501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) -> N e. Top )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. Top )
32		eqid 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- U. N = U. N
33	32	toptopon 19194	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. Top <-> N e. (TopOn ` U. N ) )
34	31, 33	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. (TopOn ` U. N ) )
35		cnf2 19509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) /\ N e. (TopOn ` U. N ) /\ ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) ) -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
36	28, 34, 29, 35	syl3anc 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
37		eqid 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Z , w e. W |-> C ) = ( z e. Z , w e. W |-> C )
38	37	fmpt2 6841	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
39	36, 38	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. Z A. w e. W C e. U. N )
40		r2al 2835	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
41	39, 40	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
42	41	3ad2ant1 1012	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
43		eleq1 2532	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z e. Z <-> A e. Z ) )
44		eleq1 2532	. . . . . . . . 9 |- ( w = B -> ( w e. W <-> B e. W ) )
45	43, 44	bi2anan9 869	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( z e. Z /\ w e. W ) <-> ( A e. Z /\ B e. W ) ) )
46		cnmpt22.d	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )
47	46	eleq1d 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( C e. U. N <-> D e. U. N ) )
48	45, 47	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) <-> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
49	48	spc2gv 3194	. . . . . 6 |- ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> ( A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) -> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
50	26, 42, 26, 49	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> D e. U. N )
51	46, 37	ovmpt2ga 6407	. . . . 5 |- ( ( A e. Z /\ B e. W /\ D e. U. N ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
52	15, 25, 50, 51	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
53	1, 52	syl5eqr 2515	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) = D )
54	53	mpt2eq3dva 6336	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> D ) )
55	2, 3, 7, 17	cnmpt2t 19902	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
56	2, 3, 55, 29	cnmpt21f 19901	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )
57	54, 56	eqeltrrd 2549	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   A.wal 1372   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   <.cop 4026   U.cuni 4238   X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   |-> cmpt2 6277   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   Cn ccn 19484   tX ctx 19789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-map 7412  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487  df-tx 19791

This theorem is referenced by:  cnmpt22f  19904  xkofvcn  19913  cnmptk2  19915  pcorevlem  21254