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Theorem cnmpt22 19245
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt2t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
cnmpt22.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt22.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
cnmpt22.c  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  N ) )
cnmpt22.d  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
cnmpt22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  D )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  N ) )
Distinct variable groups:    z, w, A    w, B    w, D, z    z, J    x, w, y, z, L    ph, x, y, z    w, X, x, y, z    w, M, x, y, z    w, N, x, y, z    w, Y, x, y, z    z, K    w, W, x, y, z    w, Z, x, y, z    z, B   
x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( x, y)    B( x, y)    C( z, w)    D( x, y)    J( x, y, w)    K( x, y, w)

Proof of Theorem cnmpt22
StepHypRef Expression
1 df-ov 6092 . . . 4  |-  ( A ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) B )  =  ( ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) `
 <. A ,  B >. )
2 cnmpt21.j . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmpt21.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 txtopon 19162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
6 cnmpt22.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
7 cnmpt21.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
8 cnf2 18851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
95, 6, 7, 8syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
10 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1110fmpt2 6639 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
129, 11sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
13 rsp2 2776 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
15143impib 1185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  Z )
16 cnmpt22.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
17 cnmpt2t.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
18 cnf2 18851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  M  e.  (TopOn `  W )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> W )
195, 16, 17, 18syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> W )
20 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2120fmpt2 6639 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  W  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> W )
2219, 21sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  W )
23 rsp2 2776 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  W  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  W ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  W ) )
25243impib 1185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  W )
2615, 25jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A  e.  Z  /\  B  e.  W ) )
27 txtopon 19162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  Z )  /\  M  e.  (TopOn `  W )
)  ->  ( L  tX  M )  e.  (TopOn `  ( Z  X.  W
) ) )
286, 16, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( Z  X.  W
) ) )
29 cnmpt22.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  N ) )
30 cntop2 18843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  N )  ->  N  e.  Top )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  Top )
32 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. N  =  U. N
3332toptopon 18536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  Top  <->  N  e.  (TopOn `  U. N ) )
3431, 33sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  (TopOn `  U. N ) )
35 cnf2 18851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( Z  X.  W
) )  /\  N  e.  (TopOn `  U. N )  /\  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  N
) )  ->  (
z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) : ( Z  X.  W ) --> U. N )
3628, 34, 29, 35syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) : ( Z  X.  W ) --> U. N )
37 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C )  =  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C )
3837fmpt2 6639 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  Z  A. w  e.  W  C  e.  U. N  <->  ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) : ( Z  X.  W
) --> U. N )
3936, 38sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  A. w  e.  W  C  e.  U. N )
40 r2al 2750 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  Z  A. w  e.  W  C  e.  U. N  <->  A. z A. w ( ( z  e.  Z  /\  w  e.  W )  ->  C  e.  U. N ) )
4139, 40sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z A. w
( ( z  e.  Z  /\  w  e.  W )  ->  C  e.  U. N ) )
42413ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A. z A. w ( ( z  e.  Z  /\  w  e.  W )  ->  C  e.  U. N ) )
43 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
z  e.  Z  <->  A  e.  Z ) )
44 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  B  ->  (
w  e.  W  <->  B  e.  W ) )
4543, 44bi2anan9 868 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  ( ( z  e.  Z  /\  w  e.  W )  <->  ( A  e.  Z  /\  B  e.  W ) ) )
46 cnmpt22.d . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  C  =  D )
4746eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  ( C  e.  U. N 
<->  D  e.  U. N
) )
4845, 47imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  ( ( ( z  e.  Z  /\  w  e.  W )  ->  C  e.  U. N )  <->  ( ( A  e.  Z  /\  B  e.  W )  ->  D  e.  U. N
) ) )
4948spc2gv 3058 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Z  /\  B  e.  W )  ->  ( A. z A. w ( ( z  e.  Z  /\  w  e.  W )  ->  C  e.  U. N )  -> 
( ( A  e.  Z  /\  B  e.  W )  ->  D  e.  U. N ) ) )
5026, 42, 26, 49syl3c 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  D  e.  U. N )
5146, 37ovmpt2ga 6218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Z  /\  B  e.  W  /\  D  e.  U. N )  ->  ( A ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) B )  =  D )
5215, 25, 50, 51syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) B )  =  D )
531, 52syl5eqr 2487 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) `  <. A ,  B >. )  =  D )
5453mpt2eq3dva 6148 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) `  <. A ,  B >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  D ) )
552, 3, 7, 17cnmpt2t 19244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
562, 3, 55, 29cnmpt21f 19243 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( z  e.  Z ,  w  e.  W  |->  C ) `  <. A ,  B >. ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  N ) )
5754, 56eqeltrrd 2516 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  D )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   <.cop 3881   U.cuni 4089    X. cxp 4836   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   Topctop 18496  TopOnctopon 18497    Cn ccn 18826    tX ctx 19131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-map 7214  df-topgen 14380  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cn 18829  df-tx 19133
This theorem is referenced by:  cnmpt22f  19246  xkofvcn  19255  cnmptk2  19257  pcorevlem  20596
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