Theorem cnmpt22 20687

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
cnmpt22.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt22.m	|- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
cnmpt22.c	|- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
cnmpt22.d	|- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt22	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Distinct variable groups:   z, w, A   w, B   w, D, z   z, J   x, w, y, z, L   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   w, M, x, y, z   w, N, x, y, z   w, Y, x, y, z   z, K   w, W, x, y, z   w, Z, x, y, z   z, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( x, y)   B( x, y)   C( z, w)   D( x, y)   J( x, y, w)   K( x, y, w)

Proof of Theorem cnmpt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6308	. . . 4 |- ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. )
2		cnmpt21.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt21.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		txtopon 20604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6		cnmpt22.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
7		cnmpt21.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
8		cnf2 20263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
10		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
11	10	fmpt2 6874	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
12	9, 11	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. Z )
13		rsp2 2796	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
15	14	3impib 1203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z )
16		cnmpt22.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
17		cnmpt2t.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
18		cnf2 20263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` W ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
19	5, 16, 17, 18	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
20		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	20	fmpt2 6874	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
22	19, 21	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. W )
23		rsp2 2796	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
25	24	3impib 1203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W )
26	15, 25	jca 534	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A e. Z /\ B e. W ) )
27		txtopon 20604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` W ) ) -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
28	6, 16, 27	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
29		cnmpt22.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
30		cntop2 20255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) -> N e. Top )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. Top )
32		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- U. N = U. N
33	32	toptopon 19946	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. Top <-> N e. (TopOn ` U. N ) )
34	31, 33	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. (TopOn ` U. N ) )
35		cnf2 20263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) /\ N e. (TopOn ` U. N ) /\ ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) ) -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
36	28, 34, 29, 35	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
37		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Z , w e. W |-> C ) = ( z e. Z , w e. W |-> C )
38	37	fmpt2 6874	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
39	36, 38	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. Z A. w e. W C e. U. N )
40		r2al 2800	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
41	39, 40	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
42	41	3ad2ant1 1026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
43		eleq1 2495	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z e. Z <-> A e. Z ) )
44		eleq1 2495	. . . . . . . . 9 |- ( w = B -> ( w e. W <-> B e. W ) )
45	43, 44	bi2anan9 881	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( z e. Z /\ w e. W ) <-> ( A e. Z /\ B e. W ) ) )
46		cnmpt22.d	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )
47	46	eleq1d 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( C e. U. N <-> D e. U. N ) )
48	45, 47	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) <-> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
49	48	spc2gv 3169	. . . . . 6 |- ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> ( A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) -> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
50	26, 42, 26, 49	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> D e. U. N )
51	46, 37	ovmpt2ga 6440	. . . . 5 |- ( ( A e. Z /\ B e. W /\ D e. U. N ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
52	15, 25, 50, 51	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
53	1, 52	syl5eqr 2477	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) = D )
54	53	mpt2eq3dva 6369	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> D ) )
55	2, 3, 7, 17	cnmpt2t 20686	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
56	2, 3, 55, 29	cnmpt21f 20685	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )
57	54, 56	eqeltrrd 2508	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   <.cop 4004   U.cuni 4219   X. cxp 4851   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   |-> cmpt2 6307   Topctop 19915  TopOnctopon 19916   Cn ccn 20238   tX ctx 20573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7485  df-topgen 15341  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cn 20241  df-tx 20575

This theorem is referenced by:  cnmpt22f  20688  xkofvcn  20697  cnmptk2  20699  pcorevlem  22055