Theorem cnmpt21f 19204

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt21f.f	|- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21f	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, L, y   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt21.j	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt21.k	. 2 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt21.a	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
4		cnmpt21f.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )
5		cntop1 18803	. . . 4 |- ( F e. ( L Cn M ) -> L e. Top )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ph -> L e. Top )
7		eqid 2441	. . . 4 |- U. L = U. L
8	7	toptopon 18497	. . 3 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
9	6, 8	sylib 196	. 2 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
10		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. M = U. M
11	7, 10	cnf 18809	. . . . 5 |- ( F e. ( L Cn M ) -> F : U. L --> U. M )
12	4, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> F : U. L --> U. M )
13	12	feqmptd 5741	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) )
14	13, 4	eqeltrrd 2516	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) e. ( L Cn M ) )
15		fveq2 5688	. 2 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
16	1, 2, 3, 9, 14, 15	cnmpt21 19203	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1761   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Cn ccn 18787   tX ctx 19092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790  df-tx 19094

This theorem is referenced by:  cnmpt22  19206  cnmptk2  19218  txhmeo  19335  tgpsubcn  19620  istgp2  19621  dvrcn  19717  htpyid  20508  htpyco1  20509  reparphti  20528  pcocn  20548  pcorevlem  20557  cxpcn  22142  dipcn  24053  mndpluscn  26292  cvxscon  27062  cvmlift2lem6  27127  cvmlift2lem12  27133