Theorem cnmpt21 17656

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt21.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt21.b	|- ( ph -> ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) )
cnmpt21.c	|- ( z = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, J   x, y, z, L   ph, x, y, z   x, X, y, z   x, M, y, z   x, Y, y, z   z, K   x, Z, y, z   x, B, y   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( z)   C( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. )
2		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> x e. X )
3		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
4		cnmpt21.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cnmpt21.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
6		txtopon 17576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8		cnmpt21.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
9		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
10		cnf2 17267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
12		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
13	12	fmpt2 6377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
14	11, 13	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. Z )
15		rsp2 2728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
17	16	imp 419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> A e. Z )
18	12	ovmpt4g 6155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. Z ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
20	1, 19	syl5eqr 2450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) = A )
21	20	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) = ( ( z e. Z |-> B ) ` A ) )
22		cnmpt21.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) )
23		cntop2 17259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) -> M e. Top )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. Top )
25		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. M = U. M
26	25	toptopon 16953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
27	24, 26	sylib 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
28		cnf2 17267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) ) -> ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M )
29	8, 27, 22, 28	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M )
30		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Z |-> B ) = ( z e. Z |-> B )
31	30	fmpt 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. Z B e. U. M <-> ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M )
32	29, 31	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. Z B e. U. M )
33	32	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> A. z e. Z B e. U. M )
34		cnmpt21.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> B = C )
35	34	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = A -> ( B e. U. M <-> C e. U. M ) )
36	35	rspcv 3008	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Z -> ( A. z e. Z B e. U. M -> C e. U. M ) )
37	17, 33, 36	sylc 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> C e. U. M )
38	34, 30	fvmptg 5763	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Z /\ C e. U. M ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` A ) = C )
39	17, 37, 38	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` A ) = C )
40	21, 39	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) = C )
41		opelxpi 4869	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
42		fvco3 5759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z /\ <. x , y >. e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) )
43	11, 41, 42	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) )
44		df-ov 6043	. . . . . . . 8 |- ( x ( x e. X , y e. Y |-> C ) y ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. )
45		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> C ) = ( x e. X , y e. Y |-> C )
46	45	ovmpt4g 6155	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ C e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> C ) y ) = C )
47	2, 3, 37, 46	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> C ) y ) = C )
48	44, 47	syl5eqr 2450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) = C )
49	40, 43, 48	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) )
50	49	ralrimivva 2758	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) )
51		nfv 1626	. . . . . 6 |- F/ u A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. )
52		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
53		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( z e. Z |-> B )
54		nfmpt21 6099	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
55	53, 54	nfco 4997	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) )
56		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ x <. u , v >.
57	55, 56	nffv 5694	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. )
58		nfmpt21 6099	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> C )
59	58, 56	nffv 5694	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. )
60	57, 59	nfeq 2547	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. )
61	52, 60	nfral 2719	. . . . . 6 |- F/ x A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. )
62		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ v ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. )
63		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y ( z e. Z |-> B )
64		nfmpt22 6100	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
65	63, 64	nfco 4997	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) )
66		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y <. x , v >.
67	65, 66	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. )
68		nfmpt22 6100	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> C )
69	68, 66	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. )
70	67, 69	nfeq 2547	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. )
71		opeq2 3945	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> <. x , y >. = <. x , v >. )
72	71	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) )
73	71	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) )
74	72, 73	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) ) )
75	62, 70, 74	cbvral 2888	. . . . . . 7 |- ( A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) )
76		opeq1 3944	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> <. x , v >. = <. u , v >. )
77	76	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) )
78	76	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
79	77, 78	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) <-> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
80	79	ralbidv 2686	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) <-> A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
81	75, 80	syl5bb 249	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
82	51, 61, 81	cbvral 2888	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> A. u e. X A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
83	50, 82	sylib 189	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. X A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
84		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) )
85		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
86	84, 85	eqeq12d 2418	. . . . 5 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) <-> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
87	86	ralxp 4975	. . . 4 |- ( A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) <-> A. u e. X A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
88	83, 87	sylibr 204	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) )
89		fco 5559	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) : ( X X. Y ) --> U. M )
90	29, 11, 89	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) : ( X X. Y ) --> U. M )
91		ffn 5550	. . . . 5 |- ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) : ( X X. Y ) --> U. M -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) Fn ( X X. Y ) )
92	90, 91	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) Fn ( X X. Y ) )
93	37	ralrimivva 2758	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y C e. U. M )
94	45	fmpt2 6377	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y C e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> C ) : ( X X. Y ) --> U. M )
95	93, 94	sylib 189	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) : ( X X. Y ) --> U. M )
96		ffn 5550	. . . . 5 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) : ( X X. Y ) --> U. M -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) Fn ( X X. Y ) )
97	95, 96	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) Fn ( X X. Y ) )
98		eqfnfv 5786	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> C ) Fn ( X X. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> C ) <-> A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) ) )
99	92, 97, 98	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> C ) <-> A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) ) )
100	88, 99	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> C ) )
101		cnco 17284	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
102	9, 22, 101	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
103	100, 102	eqeltrrd 2479	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   <.cop 3777   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Cn ccn 17242   tX ctx 17545

This theorem is referenced by:  cnmpt21f  17657  xkofvcn  17669  xkohmeo  17800  divstgplem  18103  prdstmdd  18106  divcn  18851  htpycom  18954  htpycc  18958  reparphti  18975  pcocn  18995  pcohtpylem  18997  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcoass  19002  pcorevlem  19004  dipcn  22172

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-tx 17547