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Theorem cnmpt21 17656
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt21.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt21.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmpt21.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, J    x, y, z, L    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, M, y, z   
x, Y, y, z   
z, K    x, Z, y, z    x, B, y   
z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. )
2 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
3 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
y  e.  Y )
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6 txtopon 17576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
10 cnf2 17267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1312fmpt2 6377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
1411, 13sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
15 rsp2 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1716imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A  e.  Z )
1812ovmpt4g 6155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
192, 3, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
201, 19syl5eqr 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
)  =  A )
2120fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A
) )
22 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
23 cntop2 17259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
25 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. M  =  U. M
2625toptopon 16953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
2724, 26sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
28 cnf2 17267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  Z )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
298, 27, 22, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M )
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B )
3130fmpt 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  <->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
34 cnmpt21.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
3534eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  ( B  e.  U. M  <->  C  e.  U. M ) )
3635rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Z  ->  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  ->  C  e.  U. M ) )
3717, 33, 36sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  C  e.  U. M )
3834, 30fvmptg 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Z  /\  C  e.  U. M )  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 A )  =  C )
3917, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A )  =  C )
4021, 39eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  C )
41 opelxpi 4869 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
42 fvco3 5759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. ) ) )
4311, 41, 42syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( z  e.  Z  |->  B ) `  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >. )
) )
44 df-ov 6043 . . . . . . . 8  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  y
>. )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
4645ovmpt4g 6155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  C  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
472, 3, 37, 46syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
4844, 47syl5eqr 2450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >.
)  =  C )
4940, 43, 483eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
5049ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
51 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ u A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
52 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
53 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( z  e.  Z  |->  B )
54 nfmpt21 6099 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
5553, 54nfco 4997 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
56 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x <. u ,  v >.
5755, 56nffv 5694 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )
58 nfmpt21 6099 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
5958, 56nffv 5694 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
)
6057, 59nfeq 2547 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
6152, 60nfral 2719 . . . . . 6  |-  F/ x A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
62 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
63 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( z  e.  Z  |->  B )
64 nfmpt22 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
6563, 64nfco 4997 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
66 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y <. x ,  v >.
6765, 66nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )
68 nfmpt22 6100 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
6968, 66nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >.
)
7067, 69nfeq 2547 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
71 opeq2 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  v >. )
7271fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >. )
)
7371fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  v
>. ) )
7472, 73eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
) )
7562, 70, 74cbvral 2888 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
)
76 opeq1 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  <. x ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
7776fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
7876fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. u ,  v
>. ) )
7977, 78eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8079ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  ( A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8175, 80syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8251, 61, 81cbvral 2888 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8350, 82sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
84 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
85 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
) )
8684, 85eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <-> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8786ralxp 4975 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8883, 87sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  w ) )
89 fco 5559 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M  /\  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( (
z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
9029, 11, 89syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
91 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9337ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M )
9445fmpt2 6377 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
9593, 94sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
96 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9795, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y ) )
98 eqfnfv 5786 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
)  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
10088, 99mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) )
101 cnco 17284 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
1029, 22, 101syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )
103100, 102eqeltrrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   <.cop 3777   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  17657  xkofvcn  17669  xkohmeo  17800  divstgplem  18103  prdstmdd  18106  divcn  18851  htpycom  18954  htpycc  18958  reparphti  18975  pcocn  18995  pcohtpylem  18997  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcoass  19002  pcorevlem  19004  dipcn  22172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-tx 17547
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