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Theorem cnmpt21 20464
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt21.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt21.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmpt21.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, J    x, y, z, L    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, M, y, z   
x, Y, y, z   
z, K    x, Z, y, z    x, B, y   
z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. )
2 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
3 simprr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
y  e.  Y )
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6 txtopon 20384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
74, 5, 6syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
10 cnf2 20043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
117, 8, 9, 10syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
12 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1312fmpt2 6851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
1411, 13sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
15 rsp2 2778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1716imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A  e.  Z )
1812ovmpt4g 6406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
192, 3, 17, 18syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
201, 19syl5eqr 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
)  =  A )
2120fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A
) )
22 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
23 cntop2 20035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
25 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. M  =  U. M
2625toptopon 19726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
2724, 26sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
28 cnf2 20043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  Z )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
298, 27, 22, 28syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M )
30 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B )
3130fmpt 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  <->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
3229, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
3332adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
34 cnmpt21.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
3534eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  ( B  e.  U. M  <->  C  e.  U. M ) )
3635rspcv 3156 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Z  ->  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  ->  C  e.  U. M ) )
3717, 33, 36sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  C  e.  U. M )
3834, 30fvmptg 5930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Z  /\  C  e.  U. M )  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 A )  =  C )
3917, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A )  =  C )
4021, 39eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  C )
41 opelxpi 4855 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
42 fvco3 5926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. ) ) )
4311, 41, 42syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( z  e.  Z  |->  B ) `  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >. )
) )
44 df-ov 6281 . . . . . . . 8  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  y
>. )
45 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
4645ovmpt4g 6406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  C  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
472, 3, 37, 46syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
4844, 47syl5eqr 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >.
)  =  C )
4940, 43, 483eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
5049ralrimivva 2825 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
51 nfv 1728 . . . . . 6  |-  F/ u A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
52 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
53 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( z  e.  Z  |->  B )
54 nfmpt21 6345 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
5553, 54nfco 4989 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
56 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x <. u ,  v >.
5755, 56nffv 5856 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )
58 nfmpt21 6345 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
5958, 56nffv 5856 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
)
6057, 59nfeq 2575 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
6152, 60nfral 2790 . . . . . 6  |-  F/ x A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
62 nfv 1728 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
63 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( z  e.  Z  |->  B )
64 nfmpt22 6346 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
6563, 64nfco 4989 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
66 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y <. x ,  v >.
6765, 66nffv 5856 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )
68 nfmpt22 6346 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
6968, 66nffv 5856 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >.
)
7067, 69nfeq 2575 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
71 opeq2 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  v >. )
7271fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >. )
)
7371fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  v
>. ) )
7472, 73eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
) )
7562, 70, 74cbvral 3030 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
)
76 opeq1 4159 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  <. x ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
7776fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
7876fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. u ,  v
>. ) )
7977, 78eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8079ralbidv 2843 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  ( A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8175, 80syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8251, 61, 81cbvral 3030 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8350, 82sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
84 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
85 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
) )
8684, 85eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <-> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8786ralxp 4965 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8883, 87sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  w ) )
89 fco 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M  /\  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( (
z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
9029, 11, 89syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
91 ffn 5714 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
9290, 91syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9337ralrimivva 2825 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M )
9445fmpt2 6851 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
9593, 94sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
96 ffn 5714 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9795, 96syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y ) )
98 eqfnfv 5959 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
)  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
10088, 99mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) )
101 cnco 20060 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
1029, 22, 101syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )
103100, 102eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   <.cop 3978   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   Topctop 19686  TopOnctopon 19687    Cn ccn 20018    tX ctx 20353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-topgen 15058  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cn 20021  df-tx 20355
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  20465  xkofvcn  20477  xkohmeo  20608  qustgplem  20911  prdstmdd  20914  divcn  21664  htpycom  21768  htpycc  21772  reparphti  21789  pcocn  21809  pcohtpylem  21811  pcopt  21814  pcopt2  21815  pcoass  21816  pcorevlem  21818  dipcn  26047
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