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Theorem cnmpt21 19086
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt21.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt21.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmpt21.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, J    x, y, z, L    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, M, y, z   
x, Y, y, z   
z, K    x, Z, y, z    x, B, y   
z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6083 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. )
2 simprl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
3 simprr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
y  e.  Y )
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6 txtopon 19006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
74, 5, 6syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
10 cnf2 18695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
117, 8, 9, 10syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
12 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1312fmpt2 6630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
1411, 13sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
15 rsp2 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1716imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A  e.  Z )
1812ovmpt4g 6202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
192, 3, 17, 18syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
201, 19syl5eqr 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
)  =  A )
2120fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A
) )
22 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
23 cntop2 18687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
25 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. M  =  U. M
2625toptopon 18380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
2724, 26sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
28 cnf2 18695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  Z )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
298, 27, 22, 28syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M )
30 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B )
3130fmpt 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  <->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
3229, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
3332adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
34 cnmpt21.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
3534eleq1d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  ( B  e.  U. M  <->  C  e.  U. M ) )
3635rspcv 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Z  ->  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  ->  C  e.  U. M ) )
3717, 33, 36sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  C  e.  U. M )
3834, 30fvmptg 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Z  /\  C  e.  U. M )  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 A )  =  C )
3917, 37, 38syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A )  =  C )
4021, 39eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  C )
41 opelxpi 4858 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
42 fvco3 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. ) ) )
4311, 41, 42syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( z  e.  Z  |->  B ) `  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >. )
) )
44 df-ov 6083 . . . . . . . 8  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  y
>. )
45 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
4645ovmpt4g 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  C  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
472, 3, 37, 46syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
4844, 47syl5eqr 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >.
)  =  C )
4940, 43, 483eqtr4d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
5049ralrimivva 2798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
51 nfv 1672 . . . . . 6  |-  F/ u A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
52 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
53 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( z  e.  Z  |->  B )
54 nfmpt21 6142 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
5553, 54nfco 4992 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
56 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x <. u ,  v >.
5755, 56nffv 5686 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )
58 nfmpt21 6142 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
5958, 56nffv 5686 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
)
6057, 59nfeq 2576 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
6152, 60nfral 2759 . . . . . 6  |-  F/ x A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
62 nfv 1672 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
63 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( z  e.  Z  |->  B )
64 nfmpt22 6143 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
6563, 64nfco 4992 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
66 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y <. x ,  v >.
6765, 66nffv 5686 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )
68 nfmpt22 6143 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
6968, 66nffv 5686 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >.
)
7067, 69nfeq 2576 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
71 opeq2 4048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  v >. )
7271fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >. )
)
7371fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  v
>. ) )
7472, 73eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
) )
7562, 70, 74cbvral 2933 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
)
76 opeq1 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  <. x ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
7776fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
7876fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. u ,  v
>. ) )
7977, 78eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8079ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  ( A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8175, 80syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8251, 61, 81cbvral 2933 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8350, 82sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
84 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
85 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
) )
8684, 85eqeq12d 2447 . . . . 5  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <-> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8786ralxp 4968 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8883, 87sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  w ) )
89 fco 5556 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M  /\  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( (
z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
9029, 11, 89syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
91 ffn 5547 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9337ralrimivva 2798 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M )
9445fmpt2 6630 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
9593, 94sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
96 ffn 5547 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9795, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y ) )
98 eqfnfv 5785 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
)  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
10088, 99mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) )
101 cnco 18712 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
1029, 22, 101syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )
103100, 102eqeltrrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   <.cop 3871   U.cuni 4079    e. cmpt 4338    X. cxp 4825    o. ccom 4831    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   Topctop 18340  TopOnctopon 18341    Cn ccn 18670    tX ctx 18975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-map 7204  df-topgen 14365  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cn 18673  df-tx 18977
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  19087  xkofvcn  19099  xkohmeo  19230  divstgplem  19533  prdstmdd  19536  divcn  20286  htpycom  20390  htpycc  20394  reparphti  20411  pcocn  20431  pcohtpylem  20433  pcopt  20436  pcopt2  20437  pcoass  20438  pcorevlem  20440  dipcn  23941
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