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Theorem cnmpt1t 19080
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt1t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1t  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, K    x, L
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponuni 18374 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
3 mpteq1 4360 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. ) )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. ) )
5 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6 cnmpt11.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
7 cntop2 18687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 18380 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 cnf2 18695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K
)
131, 11, 6, 12syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K )
14 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1514fmpt 5852 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. K  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K
)
1613, 15sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. K )
1716r19.21bi 2804 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. K )
1814fvmpt2 5769 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  U. K )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  =  A )
195, 17, 18syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
20 cnmpt1t.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
21 cntop2 18687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
23 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  U. L  =  U. L
2423toptopon 18380 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
2522, 24sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
26 cnf2 18695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L
)
271, 25, 20, 26syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L )
28 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2928fmpt 5852 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  U. L  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L
)
3027, 29sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  U. L )
3130r19.21bi 2804 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  U. L )
3228fvmpt2 5769 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  B  e.  U. L )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 x )  =  B )
335, 31, 32syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  B )
3419, 33opeq12d 4055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. A ,  B >. )
3534mpteq2dva 4366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
364, 35eqtr3d 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J  |->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
37 eqid 2433 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
38 nfcv 2569 . . . . 5  |-  F/_ y <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >.
39 nffvmpt1 5687 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  y )
40 nffvmpt1 5687 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  y )
4139, 40nfop 4063 . . . . 5  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y
) >.
42 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) )
43 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y ) )
4442, 43opeq12d 4055 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 y ) >.
)
4538, 41, 44cbvmpt 4370 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  <.
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( y  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y
) >. )
4637, 45txcnmpt 19039 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  e.  ( J  Cn  ( K 
tX  L ) ) )
476, 20, 46syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J  |->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
4836, 47eqeltrrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   <.cop 3871   U.cuni 4079    e. cmpt 4338   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Topctop 18340  TopOnctopon 18341    Cn ccn 18670    tX ctx 18975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-map 7204  df-topgen 14365  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cn 18673  df-tx 18977
This theorem is referenced by:  cnmpt12f  19081  xkoinjcn  19102  txcon  19104  imasnopn  19105  imasncld  19106  imasncls  19107  ptunhmeo  19223  xkohmeo  19230  cnrehmeo  20367
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