Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1t Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1t 20460
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j TopOn
cnmpt11.a
cnmpt1t.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt1t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt1t
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . 4 TopOn
2 toponuni 19722 . . . 4 TopOn
3 mpteq1 4477 . . . 4
41, 2, 33syl 18 . . 3
5 simpr 461 . . . . . 6
6 cnmpt11.a . . . . . . . . . . 11
7 cntop2 20037 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10
9 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
109toptopon 19728 . . . . . . . . . 10 TopOn
118, 10sylib 198 . . . . . . . . 9 TopOn
12 cnf2 20045 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
131, 11, 6, 12syl3anc 1232 . . . . . . . 8
14 eqid 2404 . . . . . . . . 9
1514fmpt 6032 . . . . . . . 8
1613, 15sylibr 214 . . . . . . 7
1716r19.21bi 2775 . . . . . 6
1814fvmpt2 5943 . . . . . 6
195, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5
20 cnmpt1t.b . . . . . . . . . . 11
21 cntop2 20037 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
2423toptopon 19728 . . . . . . . . . 10 TopOn
2522, 24sylib 198 . . . . . . . . 9 TopOn
26 cnf2 20045 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
271, 25, 20, 26syl3anc 1232 . . . . . . . 8
28 eqid 2404 . . . . . . . . 9
2928fmpt 6032 . . . . . . . 8
3027, 29sylibr 214 . . . . . . 7
3130r19.21bi 2775 . . . . . 6
3228fvmpt2 5943 . . . . . 6
335, 31, 32syl2anc 661 . . . . 5
3419, 33opeq12d 4169 . . . 4
3534mpteq2dva 4483 . . 3
364, 35eqtr3d 2447 . 2
37 eqid 2404 . . . 4
38 nfcv 2566 . . . . 5
39 nffvmpt1 5859 . . . . . 6
40 nffvmpt1 5859 . . . . . 6
4139, 40nfop 4177 . . . . 5
42 fveq2 5851 . . . . . 6
43 fveq2 5851 . . . . . 6
4442, 43opeq12d 4169 . . . . 5
4538, 41, 44cbvmpt 4488 . . . 4
4637, 45txcnmpt 20419 . . 3
476, 20, 46syl2anc 661 . 2
4836, 47eqeltrrd 2493 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756  cop 3980  cuni 4193   cmpt 4455  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  ctop 19688  TopOnctopon 19689   ccn 20020   ctx 20355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-map 7461  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cn 20023  df-tx 20357 This theorem is referenced by:  cnmpt12f  20461  xkoinjcn  20482  txcon  20484  imasnopn  20485  imasncld  20486  imasncls  20487  ptunhmeo  20603  xkohmeo  20610  cnrehmeo  21747
 Copyright terms: Public domain W3C validator