MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1res 19254
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt1res.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 resmpt 5161 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4 cnmpt1res.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
5 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 toponuni 18537 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
81, 7sseqtrd 3397 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. J )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
109cnrest 18894 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L )  /\  Y  C_  U. J
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L ) )
114, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L
) )
12 cnmpt1res.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
1312oveq1i 6106 . . 3  |-  ( K  Cn  L )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  L )
1411, 13syl6eleqr 2534 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( K  Cn  L ) )
153, 14eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   U.cuni 4096    e. cmpt 4355    |` cres 4847   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ↾t crest 14364  TopOnctopon 18504    Cn ccn 18833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cn 18836
This theorem is referenced by:  symgtgp  19677  subgtgp  19681  cnmptre  20504  evth2  20537  pcoass  20601  efrlim  22368  ipasslem7  24241  cvxpcon  27136  cvmliftlem8  27186
  Copyright terms: Public domain W3C validator