MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1res 19909
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt1res.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 resmpt 5321 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4 cnmpt1res.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
5 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 toponuni 19192 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
81, 7sseqtrd 3540 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. J )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
109cnrest 19549 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L )  /\  Y  C_  U. J
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L ) )
114, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L
) )
12 cnmpt1res.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
1312oveq1i 6292 . . 3  |-  ( K  Cn  L )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  L )
1411, 13syl6eleqr 2566 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( K  Cn  L ) )
153, 14eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14669  TopOnctopon 19159    Cn ccn 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cn 19491
This theorem is referenced by:  symgtgp  20332  subgtgp  20336  cnmptre  21159  evth2  21192  pcoass  21256  efrlim  23024  ipasslem7  25424  cvxpcon  28324  cvmliftlem8  28374
  Copyright terms: Public domain W3C validator