MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1res 20467
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt1res.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
21resmptd 5144 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3 cnmpt1res.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 19718 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
71, 6sseqtrd 3477 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. J )
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
98cnrest 20077 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L )  /\  Y  C_  U. J
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L ) )
103, 7, 9syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L
) )
11 cnmpt1res.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
1211oveq1i 6287 . . 3  |-  ( K  Cn  L )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  L )
1310, 12syl6eleqr 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( K  Cn  L ) )
142, 13eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452    |` cres 4824   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ↾t crest 15033  TopOnctopon 19685    Cn ccn 20016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-fin 7557  df-fi 7904  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cn 20019
This theorem is referenced by:  symgtgp  20890  subgtgp  20894  cnmptre  21717  evth2  21750  pcoass  21814  efrlim  23623  ipasslem7  26151  cvxpcon  29526  cvmliftlem8  29576
  Copyright terms: Public domain W3C validator