Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1k Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnmpt1k 20774
 Description: The composition of a one-arg function with a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j TopOn
cnmptk1.k TopOn
cnmptk1.l TopOn
cnmpt1k.m TopOn
cnmpt1k.a
cnmpt1k.b
cnmpt1k.c
Assertion
Ref Expression
cnmpt1k
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)   ()   ()   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt1k
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.j . . . . . . 7 TopOn
2 cnmptk1.l . . . . . . 7 TopOn
3 cnmpt1k.a . . . . . . 7
4 cnf2 20342 . . . . . . 7 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1292 . . . . . 6
6 eqid 2471 . . . . . . 7
76fmpt 6058 . . . . . 6
85, 7sylibr 217 . . . . 5
98adantr 472 . . . 4
10 eqidd 2472 . . . 4
11 eqidd 2472 . . . 4
12 cnmpt1k.c . . . 4
139, 10, 11, 12fmptcof 6073 . . 3
1413mpteq2dva 4482 . 2
15 cnmptk1.k . . 3 TopOn
16 cnmpt1k.b . . 3
17 topontop 20018 . . . . 5 TopOn
182, 17syl 17 . . . 4
19 cnmpt1k.m . . . . 5 TopOn
20 topontop 20018 . . . . 5 TopOn
2119, 20syl 17 . . . 4
22 eqid 2471 . . . . 5
2322xkotopon 20692 . . . 4 TopOn
2418, 21, 23syl2anc 673 . . 3 TopOn
2521, 3xkoco1cn 20749 . . 3
26 coeq1 4997 . . 3
2715, 16, 24, 25, 26cnmpt11 20755 . 2
2814, 27eqeltrrd 2550 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   cmpt 4454   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   cxko 20653 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cmp 20479  df-xko 20655 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator