Theorem cnmpt1ip 22296

Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 20758 which cannot be used directly because .i is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ip.j	|- J = ( TopOpen ` W )
cnmpt1ip.c	|- C = ( TopOpen ` ℂfld )
cnmpt1ip.h	|- ., = ( .i ` W )
cnmpt1ip.r	|- ( ph -> W e. CPreHil )
cnmpt1ip.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1ip.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) )
cnmpt1ip.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ip	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ., B ) ) e. ( K Cn C ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, J   x, K   ph, x   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   ., ( x)

Proof of Theorem cnmpt1ip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ip.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt1ip.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. CPreHil )
3		cphngp 22229	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )
4		ngptps 21694	. . . . . . . . 9 |- ( W e. NrmGrp -> W e. TopSp )
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. TopSp )
6		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		cnmpt1ip.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( TopOpen ` W )
8	6, 7	istps 20028	. . . . . . . 8 |- ( W e. TopSp <-> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
9	5, 8	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
10		cnmpt1ip.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) )
11		cnf2 20342	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
13		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
14	13	fmpt 6058	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
15	12, 14	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. ( Base ` W ) )
16	15	r19.21bi 2776	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. ( Base ` W ) )
17		cnmpt1ip.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) )
18		cnf2 20342	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
19	1, 9, 17, 18	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
20		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
21	20	fmpt 6058	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
22	19, 21	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. ( Base ` W ) )
23	22	r19.21bi 2776	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. ( Base ` W ) )
24		cnmpt1ip.h	. . . . 5 |- ., = ( .i ` W )
25		eqid 2471	. . . . 5 |- ( .if ` W ) = ( .if ` W )
26	6, 24, 25	ipfval 19293	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` W ) /\ B e. ( Base ` W ) ) -> ( A ( .if ` W ) B ) = ( A ., B ) )
27	16, 23, 26	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A ( .if ` W ) B ) = ( A ., B ) )
28	27	mpteq2dva 4482	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( .if ` W ) B ) ) = ( x e. X |-> ( A ., B ) ) )
29		cnmpt1ip.c	. . . . 5 |- C = ( TopOpen ` ℂfld )
30	25, 7, 29	ipcn 22295	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( .if ` W ) e. ( ( J tX J ) Cn C ) )
31	2, 30	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( .if ` W ) e. ( ( J tX J ) Cn C ) )
32	1, 10, 17, 31	cnmpt12f 20758	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( .if ` W ) B ) ) e. ( K Cn C ) )
33	28, 32	eqeltrrd 2550	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ., B ) ) e. ( K Cn C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   .icip 15273   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   .ifcipf 19269  TopOnctopon 19995   TopSpctps 19996   Cn ccn 20317   tX ctx 20652  NrmGrpcngp 21670   CPreHilccph 22222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-ipf 19271  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-tng 21677  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-tch 22225

This theorem is referenced by:  csscld  22298  clsocv  22299