Theorem cnmpt1ip 20892

Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 19372 which cannot be used directly because .i is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ip.j	|- J = ( TopOpen ` W )
cnmpt1ip.c	|- C = ( TopOpen ` ℂfld )
cnmpt1ip.h	|- ., = ( .i ` W )
cnmpt1ip.r	|- ( ph -> W e. CPreHil )
cnmpt1ip.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1ip.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) )
cnmpt1ip.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ip	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ., B ) ) e. ( K Cn C ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, J   x, K   ph, x   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   ., ( x)

Proof of Theorem cnmpt1ip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ip.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt1ip.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. CPreHil )
3		cphngp 20825	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )
4		ngptps 20327	. . . . . . . . 9 |- ( W e. NrmGrp -> W e. TopSp )
5	2, 3, 4	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. TopSp )
6		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		cnmpt1ip.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( TopOpen ` W )
8	6, 7	istps 18674	. . . . . . . 8 |- ( W e. TopSp <-> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
9	5, 8	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
10		cnmpt1ip.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) )
11		cnf2 18986	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
13		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
14	13	fmpt 5974	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. ( Base ` W ) )
16	15	r19.21bi 2920	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. ( Base ` W ) )
17		cnmpt1ip.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) )
18		cnf2 18986	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
19	1, 9, 17, 18	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
20		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
21	20	fmpt 5974	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
22	19, 21	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. ( Base ` W ) )
23	22	r19.21bi 2920	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. ( Base ` W ) )
24		cnmpt1ip.h	. . . . 5 |- ., = ( .i ` W )
25		eqid 2454	. . . . 5 |- ( .if ` W ) = ( .if ` W )
26	6, 24, 25	ipfval 18204	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` W ) /\ B e. ( Base ` W ) ) -> ( A ( .if ` W ) B ) = ( A ., B ) )
27	16, 23, 26	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A ( .if ` W ) B ) = ( A ., B ) )
28	27	mpteq2dva 4487	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( .if ` W ) B ) ) = ( x e. X |-> ( A ., B ) ) )
29		cnmpt1ip.c	. . . . 5 |- C = ( TopOpen ` ℂfld )
30	25, 7, 29	ipcn 20891	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( .if ` W ) e. ( ( J tX J ) Cn C ) )
31	2, 30	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( .if ` W ) e. ( ( J tX J ) Cn C ) )
32	1, 10, 17, 31	cnmpt12f 19372	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( .if ` W ) B ) ) e. ( K Cn C ) )
33	28, 32	eqeltrrd 2543	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ., B ) ) e. ( K Cn C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   .icip 14363   TopOpenctopn 14480  ℂ_fldccnfld 17944   .ifcipf 18180  TopOnctopon 18632   TopSpctps 18634   Cn ccn 18961   tX ctx 19266  NrmGrpcngp 20303   CPreHilccph 20818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-staf 17054  df-srng 17055  df-lmod 17074  df-lmhm 17227  df-lvec 17308  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-phl 18181  df-ipf 18182  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-nm 20308  df-ngp 20309  df-tng 20310  df-nlm 20312  df-clm 20768  df-cph 20820  df-tch 20821

This theorem is referenced by:  csscld  20894  clsocv  20895