Theorem cnmpt1ip 21853

Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 20333 which cannot be used directly because .i is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ip.j	|- J = ( TopOpen ` W )
cnmpt1ip.c	|- C = ( TopOpen ` ℂfld )
cnmpt1ip.h	|- ., = ( .i ` W )
cnmpt1ip.r	|- ( ph -> W e. CPreHil )
cnmpt1ip.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1ip.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) )
cnmpt1ip.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ip	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ., B ) ) e. ( K Cn C ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, J   x, K   ph, x   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   ., ( x)

Proof of Theorem cnmpt1ip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ip.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt1ip.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. CPreHil )
3		cphngp 21786	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )
4		ngptps 21288	. . . . . . . . 9 |- ( W e. NrmGrp -> W e. TopSp )
5	2, 3, 4	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. TopSp )
6		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		cnmpt1ip.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( TopOpen ` W )
8	6, 7	istps 19604	. . . . . . . 8 |- ( W e. TopSp <-> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
9	5, 8	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
10		cnmpt1ip.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) )
11		cnf2 19917	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( K Cn J ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
13		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
14	13	fmpt 6028	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> ( Base ` W ) )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. ( Base ` W ) )
16	15	r19.21bi 2823	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. ( Base ` W ) )
17		cnmpt1ip.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) )
18		cnf2 19917	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( K Cn J ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
19	1, 9, 17, 18	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
20		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
21	20	fmpt 6028	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X |-> B ) : X --> ( Base ` W ) )
22	19, 21	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. ( Base ` W ) )
23	22	r19.21bi 2823	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. ( Base ` W ) )
24		cnmpt1ip.h	. . . . 5 |- ., = ( .i ` W )
25		eqid 2454	. . . . 5 |- ( .if ` W ) = ( .if ` W )
26	6, 24, 25	ipfval 18857	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` W ) /\ B e. ( Base ` W ) ) -> ( A ( .if ` W ) B ) = ( A ., B ) )
27	16, 23, 26	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A ( .if ` W ) B ) = ( A ., B ) )
28	27	mpteq2dva 4525	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( .if ` W ) B ) ) = ( x e. X |-> ( A ., B ) ) )
29		cnmpt1ip.c	. . . . 5 |- C = ( TopOpen ` ℂfld )
30	25, 7, 29	ipcn 21852	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( .if ` W ) e. ( ( J tX J ) Cn C ) )
31	2, 30	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( .if ` W ) e. ( ( J tX J ) Cn C ) )
32	1, 10, 17, 31	cnmpt12f 20333	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( .if ` W ) B ) ) e. ( K Cn C ) )
33	28, 32	eqeltrrd 2543	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ., B ) ) e. ( K Cn C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   .icip 14789   TopOpenctopn 14911  ℂ_fldccnfld 18615   .ifcipf 18833  TopOnctopon 19562   TopSpctps 19564   Cn ccn 19892   tX ctx 20227  NrmGrpcngp 21264   CPreHilccph 21779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-rnghom 17559  df-drng 17593  df-subrg 17622  df-staf 17689  df-srng 17690  df-lmod 17709  df-lmhm 17863  df-lvec 17944  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-phl 18834  df-ipf 18835  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-tng 21271  df-nlm 21273  df-clm 21729  df-cph 21781  df-tch 21782

This theorem is referenced by:  csscld  21855  clsocv  21856