MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1ip Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1ip 20892
Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 19372 which cannot be used directly because  .i is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cnmpt1ip.c  |-  C  =  ( TopOpen ` fld )
cnmpt1ip.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cnmpt1ip.r  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
cnmpt1ip.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1ip.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
cnmpt1ip.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1ip  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  .,  B
) )  e.  ( K  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, J    x, K    ph, x    x, W    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    ., ( x)

Proof of Theorem cnmpt1ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt1ip.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
3 cphngp 20825 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
4 ngptps 20327 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
52, 3, 43syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  TopSp )
6 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
7 cnmpt1ip.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
86, 7istps 18674 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
95, 8sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
10 cnmpt1ip.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
11 cnf2 18986 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> ( Base `  W ) )
121, 9, 10, 11syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> ( Base `  W )
)
13 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1413fmpt 5974 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> ( Base `  W
) )
1512, 14sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  ( Base `  W ) )
1615r19.21bi 2920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
17 cnmpt1ip.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )
18 cnf2 18986 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> ( Base `  W ) )
191, 9, 17, 18syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> ( Base `  W )
)
20 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2120fmpt 5974 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> ( Base `  W
) )
2219, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  ( Base `  W ) )
2322r19.21bi 2920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  ( Base `  W
) )
24 cnmpt1ip.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
25 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .if `  W )  =  ( .if `  W )
266, 24, 25ipfval 18204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  W )  /\  B  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( A ( .if `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
2716, 23, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( .if `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
2827mpteq2dva 4487 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( .if `  W ) B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  .,  B
) ) )
29 cnmpt1ip.c . . . . 5  |-  C  =  ( TopOpen ` fld )
3025, 7, 29ipcn 20891 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( .if `  W )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  C ) )
312, 30syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .if `  W )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  C ) )
321, 10, 17, 31cnmpt12f 19372 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( .if `  W ) B ) )  e.  ( K  Cn  C
) )
3328, 32eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  .,  B
) )  e.  ( K  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   .icip 14363   TopOpenctopn 14480  ℂfldccnfld 17944   .ifcipf 18180  TopOnctopon 18632   TopSpctps 18634    Cn ccn 18961    tX ctx 19266  NrmGrpcngp 20303   CPreHilccph 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-staf 17054  df-srng 17055  df-lmod 17074  df-lmhm 17227  df-lvec 17308  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-phl 18181  df-ipf 18182  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-nm 20308  df-ngp 20309  df-tng 20310  df-nlm 20312  df-clm 20768  df-cph 20820  df-tch 20821
This theorem is referenced by:  csscld  20894  clsocv  20895
  Copyright terms: Public domain W3C validator