MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1ds Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1ds 20554
Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt12f 19374 which cannot be used directly because 
D is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
cnmpt1ds.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1ds.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt1ds.g  |-  ( ph  ->  G  e.  MetSp )
cnmpt1ds.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1ds.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
cnmpt1ds.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1ds  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A D B ) )  e.  ( K  Cn  R ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, G    x, J    x, K    ph, x    x, R    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cnmpt1ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt1ds.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  MetSp )
3 mstps 20165 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  TopSp
)
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
5 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
6 cnmpt1ds.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
75, 6istps 18676 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
84, 7sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
9 cnmpt1ds.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
10 cnf2 18988 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> ( Base `  G ) )
111, 8, 9, 10syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> ( Base `  G )
)
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1312fmpt 5976 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> ( Base `  G
) )
1411, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  ( Base `  G ) )
1514r19.21bi 2920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
16 cnmpt1ds.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )
17 cnf2 18988 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> ( Base `  G ) )
181, 8, 16, 17syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> ( Base `  G )
)
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2019fmpt 5976 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> ( Base `  G
) )
2118, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  ( Base `  G ) )
2221r19.21bi 2920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
2315, 22ovresd 6344 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B )  =  ( A D B ) )
2423mpteq2dva 4489 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A D B ) ) )
25 cnmpt1ds.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
26 cnmpt1ds.r . . . . 5  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
275, 25, 6, 26msdcn 20553 . . . 4  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  R ) )
282, 27syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  R
) )
291, 9, 16, 28cnmpt12f 19374 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B ) )  e.  ( K  Cn  R
) )
3024, 29eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A D B ) )  e.  ( K  Cn  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   ran crn 4952    |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   (,)cioo 11414   Basecbs 14295   distcds 14369   TopOpenctopn 14482   topGenctg 14498  TopOnctopon 18634   TopSpctps 18636    Cn ccn 18963    tX ctx 19268   MetSpcmt 20028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-ordt 14561  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-ps 15492  df-tsr 15493  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032
This theorem is referenced by:  nmcn  20556
  Copyright terms: Public domain W3C validator